- •Дифференциальные уравнения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Общее, частное и особое решения.
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Возвращаясь к старой переменной, получим общее решение уравнения (12) в области : где - любое число.
- •Линейные уравнения первого порядка
- •Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
- •Метод и.Бернулли.
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- •Учитывая, что ,
- •Искомое частное решение имеет вид
- •Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
1) Рассмотрим вначале однородное уравнение (15)
Легко видеть, что уравнение (15) является уравнением с разделяющимися переменными. Поэтому
И нтегрируя, получим
где - произвольная положительная постоянная. Значит, , где C >0 или C<0.
Утерянное при разделении переменных решение y=0 получается отсюда при C=0.
2) Перейдем теперь к решению неоднородного уравнения .
По методу Лагранжа будем искать его решение в том же виде, что и решение однородного уравнения, заменяя в нем произвольную
постоянную некоторой, пока неизвестной, непрерывно дифференцируемой на функцией , т.е.
(16)
где функцию нужно выбрать так, чтобы эта функция была решением уравнения (14) (варьируя произвольную постоянную).
Метод и.Бернулли.
1) В согласии с этим методом будем искать решение уравнения (14)
в виде произведения двух непрерывно дифференцируемых на промежутке функций и , одна из которых может быть выбрана по нашему желанию, а другая определяется с помощью самого уравнения: (17)
Подставив (17) в (14), получим (опуская аргумент или
2) Выберем функцию так, чтобы коэффициент при (т.е. выражение, стоящее в круглых скобках) равнялся нулю
Данное уравнение сходно с уравнением (15) и его общее решение имеет вид
В частности, при
3) Подставим найденную функцию u(x) в уравнение (18)
и получим уравнение для определения функции
Тогда
Поэтому
, где - произвольная постоянная.
4) Наконец, подставим значения и в (17).
Пример . Решить уравнение (19)
для двумя методами: Лагранжа и Бернулли.
1. В согласии с методом Лагранжа рассмотрим сначала однородное уравнение
Разделяем переменные:
Выполняя интегрирование, получим общее решение уравнения (19) (20) где - произвольная постоянная.
По методу Лагранжа будем искать решение неоднородного уравнения (19) в виде (20), но вместо произвольной постоянной возьмем некоторую непрерывно дифференцируемую функцию : (21)
Подставим (21) в уравнение (19): ,
откуда следует , тогда
где - произвольная постоянная. Подставив это выражение в (21), получим общее решение уравнения (19) на плоскости в виде
2. Следуя методу И.Бернулли, будем искать решение уравнения (19)
в виде (22)
где и - непрерывно дифференцируемые функции. Подставив (22) в (19), получим
Или (23)
Выберем функцию так, чтобы коэффициент при равнялся тождественно нулю, т.е.
Найдем общее решение этого уравнения:
где - произвольная постоянная. Положив , найдем частное решение
(24)
Подставим его в уравнение (23): ,
откуда (25) где - произвольная постоянная. Подставляя (24) и (25) в (22), получим то же самое решение, что и по методу Лагранжа: