Уравнения с разделяющимися переменными

О

пр. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если правая часть его представляется в виде произведения функции, зависящей только от аргумента , на функцию, зависящую только от искомой функции . Его можно записать в виде

(5)

где функция определена и непрерывна на интервале , а функция определена, имеет непрерывную производную и не обращается в нуль на интервале

Умножив обе части рассмотренного уравнения на и разделив на , получим

где в левой части находится функция от и , а в правой - функция от и .

Проинтегрируем обе части тождества помня, что первообразные отличаются друг от друга на константу, и получим (6)

Это общий интеграл уравнения с разделяющимися переменными в прямоугольнике .

Пусть теперь функция обращается в нуль при некотором так что Подставим в уравнение и заметим, что оно удовлетворяется, т.е. является его решением. При этом оно не содержится в соотношении (6), а, значит, будет являться особым решением.

Пример . Найти решение уравнения

удовлетворяющее начальному условию

Это уравнение с разделяющимися переменными, где а . Функции и непрерывны при любых значениях и , причем Запишем , ,

где - произвольная постоянная.

Для решения поставленной задачи Коши положим в общем интеграле

Тогда , .

Разрешив тождество относительно , получим частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию:

Уравнение с разделяющимися переменными может быть задано в симметричной относительно и форме:

(7)

где функции заданы и непрерывны соответственно в интервалах и причем и не обращаются в нуль.

Разделим обе части данного уравнения на произведение и получим общий интеграл уравнения в прямоугольнике

в следующем виде

(8) где - произвольная постоянная.

Пример. Решить уравнение

Данное дифференциальное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными. Функции непрерывны при любых значениях и , причем будем пока считать, что и

Разделив обе части данного уравнения на произведение получим:

Преобразуем выражение:

и проинтегрируем:

где C>0 (здесь произвольная постоянная обозначена через lnC).

Последнее равенство можно записать в виде

, т.е. , где C>0 или C<0.

Мы получили общий интеграл данного уравнения при условиях и

Рассмотрим теперь случай , т.е. Непосредственно из уравнения

видно, что каждый из случаев и является решением. При этом они содержатся в общем интеграле и могут быть получены из него при .

Аналогично рассматриваются решения, доставляемые уравнением , т.е. и .

Пример. Решить уравнение при :

Разделим переменные.

Тогда общий интеграл запишем в виде

где .