- •Дифференциальные уравнения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Общее, частное и особое решения.
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Возвращаясь к старой переменной, получим общее решение уравнения (12) в области : где - любое число.
- •Линейные уравнения первого порядка
- •Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
- •Метод и.Бернулли.
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- •Учитывая, что ,
- •Искомое частное решение имеет вид
- •Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Опр. Линейным дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение вида
(31)
где - искомая функция аргумента , а функции заданы и непрерывны на некотором промежутке
Если всюду в функция тождественно равна нулю, то уравнение (31) называется линейным однородным, в противном случае – линейным неоднородным.
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (32)
Отметим его свойства:
1. Если функция является решением уравнения (32), а - любая постоянная, то и функция есть также решение уравнения (32).
2. Если функции являются решениями уравнения (32), то и их сумма также является решением уравнения (32).
3. Если функции являются решениями однородного уравнения (32), то их линейная комбинация
где - произвольные постоянные, также является решением этого уравнения.
Опр. Функции , определенные и непрерывные на интервале , называются линейно зависимыми на , если существует такой набор чисел , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что при любом на интервале выполняется тождество
Если же это тождество выполнено только при условии , то функции называют линейно независимыми на интервале .
Видно, что если функции линейно зависимы на , то, по крайней мере, одну из них можно выразить в виде линейной комбинации остальных. Например,
если .
Пусть функции дифференцируемы раз на интервале . Рассмотрим определитель -го порядка
который называют определителем Вронского (вронскианом) для рассматриваемых функций. Он является функцией от , определенной на интервале
Теорема (признак линейной независимости решений линейного однородного уравнения). Для того, чтобы решений уравнения (32) были линейно независимы на необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского для этих решений не обращался в нуль ни в одной точке из
Использование этого признака облегчается наличием двух важных свойств:
1. Если определитель Вронского для этих решений обращается в нуль в одной точке интервала , то он равен нулю во всех точках
2. Если определитель Вронского для этих решений не равен нулю в одной точке интервала , то он отличен от нуля во всех точках
Опр. Фундаментальной системой решений линейного однородного уравнения -го порядка на интервале называется любая система из решений этого уравнения, линейно независимых на .
Теорема (о структуре общего решения однородного линейного уравнения). Если - фундаментальная система решений уравнения (32) на интервале , то линейная комбинация этих решений
где - произвольные постоянные, является общим решением уравнения (32) в области
Обратимся к рассмотрению линейных неоднородных дифференциальных уравнений вида (31)
где - искомая функция аргумента , а функции заданы и непрерывны на некотором интервале .
Если в уравнении (31) сохранить левую часть, а в правой функцию f(x) заменить нулем, то получим так называемое однородное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (31).
Теорема (о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения). Общее решение линейного неоднородного уравнения (31) в области
есть сумма любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения в указанной области, т.е.
(33)
где - частное решение уравнения (31), - фундаментальная система решений однородного уравнения (32), а - произвольные постоянные
Теорема (принцип наложения решений). Если на промежутке функция - частное решение уравнения а функция - частное решение уравнения
то на этом же промежутке функция есть частное решение уравнения
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Рассмотрим уравнение второго порядка (39) где и - любые вещественные числа.
Л.Эйлер предложил искать частные решения этого уравнения в виде где - некоторое число.
Подставим в левую часть уравнения и получим
Множитель отличен от нуля, следовательно, число должно быть корнем уравнения (40)
Это уравнение называется характеристическим уравнением уравнения (39), а его корни - характеристическими числами уравнения (39).
Уравнение (40) квадратное и имеет два корня и .
Структура фундаментальной системы решений зависит от вида корней характеристического уравнения. Рассмотрим три возможных случая:
1) Пусть - вещественные и различные. Тогда частные решения уравнения запишутся так:
Найдем определитель Вронского
Эти решения линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений уравнения (39), следовательно, его общее решение можно записать в виде
где и - произвольные постоянные.
2) Пусть - вещественные и равные.
В этом случае дискриминант квадратного уравнения равен нулю и . Одно решение получается на основании предыдущих рассуждений: это функция Подстановкой можно убедиться в том, что функция является решением уравнения (40) и линейно независима с решением следовательно, общее решение уравнения (39) имеет вид
где и - произвольные постоянные.
3) Пусть - комплексные корни. Так как числа и вещественные, то и являются сопряженными.
Можно показать, что паре комплексных сопряженных корней
соответствует два линейно независимых частных решения
и, следовательно, общее решение уравнения (39) в этом случае имеет вид
где и - произвольные постоянные.
Примеры. Найти общее решение для уравнений
1) .
Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение для него:
Найдем корни характеристического уравнения
Общее решение будет иметь вид где и - произвольные постоянные. 2) .
Составим характеристическое уравнение: .
Найдем его корни
Общее решение будет иметь вид где и - произвольные постоянные.
3) .
Составим характеристическое уравнение
Найдем его корни
Запишем общее решение где и - произвольные постоянные.