11 Дискретизация непрерывных сигналов. Теорема Котельникова

Интерес к такому преобразованию появился тогда, когда выявились преимущества дискретных, а позднее и цифровых (дополнительно квантованных) сигналов перед непрерывными в нескольких аспектах:

1. с точки зрения повышения производительности телекоммуникационной системы (ТКС)

   1. дискретный сигнал подлежит временному и даже статистическому уплотнению (рис 2.11.2)

   2. цифровой сигнал подлежит многоуровневой модуляции. (рис. 2.11.3)

2. с точки зрения повышения помехоустойчивости ТКС:

   1. цифровой сигнал подлежит регенерации (восстановлению формы с точностью до шага дискретизации и квантования);

   2. цифровой сигнал подлежит кодированию, в том числе избыточному дял повышения помехоустойчивости;

3. с точки зрения защиты информации в ТКС

   1. только цифровизация сигнала позволяет создать “нерасшифровываемые” системы передачи

4. с точки зрения технологичности ТКС

   1. цифровая форма сигнала позволяет интегрировать услуги системы — предоставляет их абоненту через типовые устройства и сооружения независимо от вида связи

   2. устройства цифровой обработки более технологичны (интегральные технологии, минитюаризация оборудования), чем устройства обработки аналоговых сигналов.

Именно поэтому поиск закономерностей преобразования сигнала типа “дискретизация” представляет актуальную научно-техническую задачу.

Для повышении эффективности передачи информации обычно преднамеренно ограничивают спектр передаваемых сигналов.

В телефонии диапазон частот 300-3400

Функции с ограниченным спектром обладают свойством которое подметил в 1933г Котельников В.А.

Он сформулировал теорему:

Н епрерывная функция не содержащая частот выше граничной полностью определяется своими … значениями (отсчётами) в точках отстоящих друг от друга - инт. Кот.

ряд Котельникова.

Покажем, как это выглядит графически .

АЧХ идеального ФНЧ

Процедура передачи сигналов f(t) сводится

к передаче отсчётов

по каналу связи и восстановлению на

приёмнике по этим отсчётам ф-и f(t) путём

фильтра низких частот.

При практическом использовании этой теоремы возникают следующие трудности:

а) Для передачи сигналов отводится ограниченная полоса частот 0÷wc, хотя спектры реальных сигналов бесконечны.

f(t)- исходный сигнал. f*(t)- восстановленный с.

Если воспользоваться соотношением Парсеваля, зная

погреш.→ →

б) Реальный сигнал f(t)существует на конечном интервале наблюдений, поэтому

- частота сигнала

- врем. набл.

Максимальная величина погрешности будет ≈ в середине интервала, а 0 – на концах интервала

На конце отрезка набл. Участвуют большое число N поэтому величина погрешности уменьшается к концу интервала.

в) Идеальный фильтр низких частот практически не существует.

Поэтому восстановление исходного сигнала осуществляется с погрешностью, которая зависит от порядка фильтра.

г) В теореме Котельникова в момент взятия отсчётов используются дельта импульсы.

Поэтому теорема ничего не говорит какую длительность надо использовать для дискретизации.

- Короткие импульсы расширяют спектр (-), но позволяют организовать многоканальную передачу.

- Широкие импульсы сужают спектр (+), но получаются одноканальные системы.

Кроме того, от длительности дискретизации импульсов зависит и погрешность восстановления исходных сигналов в приёме.

д) Апертурная погрешность

Она связана конечным временем одного преобразования и неопределённостью момента времени его окончания, т.е. вместо равномерной дискретизации на практике получаются неравномерная.

Величину этой погрешности можно оценить исходя из - опер. инт.

Для снижения опер. погрешности приходится увеличивать

частоту дискретизации.

Квантование сигналов по уровню.

Э та процедура преобразования непрерывного сигнала в последовательность дискретных значений с помощью нелинейного устройства (квантователь) ↔

Точные значения заменяются приближёнными.

Ошибка

Ошибку можно оценить вычитая исходный и квантовый сигнал .

А точно восстановить исходный квантов. Нельзя т.к. каждому дискр. значению соответствует - шаг квантования

Чем меньше тем меньше ошибка

- среднеквадратичная ошибка (для равномерного кв-ния)

Если квантование неравномерное: наиболее вероятные значения с меньшим шагом, а наимен. вероят. с большим.

Квантование используется при аналогоцифровом преобразовании (АЦП) сигналов = дискр.+ ква-е. + кодиров.

Поскольку ошибка квантования считается помехой, то выр-т откланения

n – разрядность кода П – пик фактор сигнала.П = 3 - для телефонии

Т.е. увеличение разрядности кода → возрастает соотношение с/ш

Для неравномерного квантования используют компандерные системы. Это система из 2х нелинейных преобразователей.

АЦП – параллельный (быстродействующий)

- последовательный (простой)

- комбинированный