Электродвижущая сила индукции.

Для создания тока в цепи необходимо наличие э. д. с. Поэтому явление электромагнитной индукции свидетельствует о том, что при изменениях магнитного потока Ф в контуре возникает электродвижущая сила индукции  _i.

Рис. 106.

Чтобы выяснить связь между  _i и скоростью изменения Ф, рассмотрим следующий пример. Возьмем контур, участок которого 1–2 длины l может перемещаться без нарушения контакта с остальной частью контура (рис. 106,а). Поместим его в однородное магнитное иоле, перпендикулярное к плоскости контура (это поле изображено на рисунке кружками с крестиками – вектop В направлен от нас за чертеж). Приведем подвижную часть контура в движение со скоростью v. С той же скоростью станут перемещаться относительно поля и носители заряда в проводнике – электроны (рис. 106,6).

В результате на каждый электрон начнет действовать сила Лоренца f_ равная по модулю

f_ = qvB (56.1)

(индекс «_||» указывает на то, что сила направлена вдоль провода).

Действие этой силы эквивалентно действию электрической силы, обусловленной полем напряженности

E = vB

имеющим направление, указанное на рис. 106, б. Это поле неэлектростатического происхождения. Его циркуляция по контуру дает величину э. д. с, индуцируемой в контуре:

(56.2)

где dS = lvdt – приращение площади контура за время dt (это приращение равно заштрихованной площади на рис. 106, а). При вычислении циркуляции мы учли, что  _i отлична от нуля лишь на участке длины l, причем на этом участке всюду E_l = Е.

Произведение ВdS дает dФ – приращение потока магнитной индукции через контур. Следовательно, мы пришли к выводу, что э. д. с. индукции  _i, возникающая, в замкнутом контуре, равна скорости изменения во времени потока магнитной индукции Ф, пронизывающего контур. Это равенство принято записывать в виде

(56.3)

Знак «–» означает, что направление  _i и направление dФ связаны правилом левого винта. (Поток Ф и его приращение dФ – скалярные величины. Поэтому об их направлении можно говорить лишь в том смысле, какой вкладывается, например, в понятие направления тока.) Положительному приращению потока, имеющего направление за чертеж (рис. 106), соответствует изображенное на рисунке направление  _i, которое связано с направлением за чертеж правилом левого винта. Если бы проводник 1–2 перемещался не вправо, а влево, поток через контур уменьшался бы и  _i имела бы направление, противоположное изображенному на рисунке.

Единицей потока магнитной индукции в СИ служит вебер (вб), который представляет собой поток через поверхность в 1 м², пересекаемую нормальными к ней линиями магнитного поля с В, равной 1 тесла. При скорости изменения потока, равной 1 вб/сек, в контуре индуцируется э. д. с, равная 1 в.

В расссмотренном нами выше примере роль сторонних сил, поддерживающих ток в контуре, играют силы Лоренца. Работа этих сил над единичным положительным зарядом, равная по определению э. д. с., оказывается отличной от нуля. Это обстоятельство находится в кажущемся противоречии с утверждением о том, что сила Лоренца работы над зарядом совершать не может. Дело в том, что сила (56.1) представляет собой не всю лоренцеву силу, действующую на электрон, а лишь параллельную проводу составляющую силы, обусловленную скоростью v (рис. 108). Под действием этой составляющей электрон приходит

Рис. 108.

в движение вдоль провода со скоростью u, в результате чего возникает перпендикулярная к проводу составляющая лоренцевой силы f_ модуль которой равен

f_ = еuВ (56.7)

(см. рис. 108). Заметим, что эта составляющая не вносит вклада в циркуляцию, так как ее проекция на направление провода равна нулю.

Таким, образом, полная лоренцева сила, действующая на электрон, равна

f_Л = f_ + f_

а работа этой силы над электроном за время dt

dA = f_ u dt – f_v dt

(направления векторов f_ и u одинаковы, а векторов f_ и v противоположны; см. рис. 108). Учтя, что f_ = qvB, f_ = еuВ, легко видеть, что работа полной силы Лоренца действительно, как и полагается, равна нулю.

Сила f_ направлена противоположно скорости провода v. Поэтому для того, чтобы участок провода 1–2 перемещался, как показано на рис. 108, с постоянной скоростью v, к нему нужно приложить внешнюю силу f_вн, уравновешивающую сумму сил f_, приложенных ко всем электронам, содержащимся в проводе 1–2. За счет работы этой силы и будет возникать энергия, выделяемая в контуре индуцированным током. Действительно, модуль силы f_вн можно представить в виде

f_вн = f_nV = euBnV = euBnlS_пр

где n – число свободных электронов в единице объема, V = lS_пp – объем провода на участке 1–2, S_пр – площадь поперечного сечения провода.

Работа силы f_вн за время dt равна

dA_вн = f_внv dt = euBnlS_npv dt. (56.8)

Энергия, выделяемая током в контуре за время dt, определяется следующим выражением:

dQ =  _i Idt =  _i jS_прdt,

где j – плотность тока. Плотность тока равна j = еnu, согласно (56.2) э. д. с. индукции можно представить в виде  _i = vBl.

Подставив эти значения j и  _i в выражение для dQ, придем к формуле

dQ = vBlenuS_np dt,

совпадающей с формулой (56.8) для dA_вн. Таким образом, мы показали, что dQ = dA_вн.

Рассмотренное нами объяснение возникновения э. д. с. индукции относится к случаю, когда магнитное поле постоянно, а изменяется геометрия контура. Но магнитный поток через контур может изменяться также за счет изменения В. В этом случае объяснение возникновения э. д. с. оказывается в принципе другим. Изменяющееся со временем магнитное поле В порождает вихревое электрическое поле Е (подробнее об этом говорится ниже). Под действием поля Е приходят в движение носители тока в проводнике – возникает индуцированный ток. Связь между э. д. с. индукции и изменениями магнитного потока и в этом случае описывается формулой (56.3).

Пусть контур, в котором, индуцируется э. д. с, состоит не из одного витка, а из N одинаковых витков, т. е. представляет собой соленоид. Поскольку витки соленоида соединяются последовательно и согласованным образом,  _i будет равна сумме э. д. с, индуцируемых в каждом из витков в отдельности,

Величину

(56.9)

называют потокосцеплением или полным магнитным потоком. Ее измеряют в тех же единицах, что и Ф. Если поток, пронизывающий каждый из витков, одинаков,

 = NФ. (56.10)

Воспользовавшись потокосцеплением, выражение для э. д. с, индуцируемой в соленоиде, можно записать в виде

(56.11)

Пример. Катушка, имеющая N витков, вращается в однородном магнитном поле с постоянной скоростью  (рис. 109). Найдем индуцируемую в ней э. д. с. Поток через один виток Ф = B_nS = BS cos , где S – площадь витка,  – угол между нормалью к плоскости витка и направлением В.

Полный поток  = NФ = NBS cos . Угол  меняется со временем по закону  = t. Следовательно,

 = NBScost = _mcos t,

где через _m обозначено амплитудное значение полного потока. По формуле (56.11)

(56.12)

Таким образом, в катушке индуцируется переменная э. д. с, изменяющаяся со временем по гармоническому закону.