V. Математична модель і розв’язання задачі оптимального управління

Результатом статистичного аналізу показників, що характеризують економічний процес, є оцінки функцій регресії випадкових величин (показників ) на одну величину або систему випадкових величин. Сукупність всіх цих залежностей є математичним описом системи й законів переходу її з одного стану в інше. Принцип оптимального управління полягає у виборі таких значень показників, при яких система починає функціонувати щонайкраще.

Насамперед необхідно вибрати критерій оптимальності, тобто функцію, значення якої повинне досягти найбільшого ( або найменшого) із усіх можливих у даній ситуації значень. З погляду статистичного аналізу це - одна з результативних ознак. Керовані змінні цієї задачі оптимізації - факторні ознаки, що впливають на результативну ознаку. Факторні ознаки також зв'язані між собою. Цей зв'язок описується оцінкою функції регресії одної з факторних ознак на іншу факторну ознаку, отриманої в результаті регресійного аналізу статистичних даних. Вибір таких зв'язаних пар факторних ознак починається з корреляційного аналізу, де відправною точкою є досить великий коефіцієнт парної корреляції. При виборі керованих змінних задачі треба врахувати, що з тісно зв'язаних факторних ознак, особливо з коефіцієнтом парної корреляції більшому за 0.5, тільки одна впливає на результативну ознаку самостійно, а вплив іншої є опосередкованим. Тому при виборі математичної моделі критерію оптимальності враховується тільки одна з них, а вплив іншої закладено в оцінці функції його регресії на перший фактор.

Оцінки функцій регресії факторних ознак (керованих змінних) одна на одну накладають обмеження на їхні можливі значення. Але це не єдині обмеження. Необхідно врахувати, що кожна з факторних ознак може приймати значення тільки в строго обмежених межах, які випливають із суті самого показника.

У загальному випадку математична модель задачі оптимального управління економічним процесом, складена в результаті багатовимірного статистичного аналізу показників, містить:

- цільову функцію

y = f (x₁,x₂,…,x_k) –

функцію регресії результативної ознаки Y на факторні ознаки X₁,X₂,…,X_k;

- обмеження, що визначають область припустимих розв’язків :

x_j = φ_i (x_i) , ( i, j = 1,2,…,k ) –

функції регресії факторної ознаки X_j на факторну ознаку X_i (i≠J);

, ( i = 1,2,…,k),

де й – нижня й верхня границі значень X_i .

Задача оптимізації формулюється в такий спосіб:

Знайти такі значення керованих змінних, задовольняючих всім обмеженням задачі, при яких цільова функція досягає шуканого екстремального значення.

У загальному випадку задача є задачею нелінійного програмування, тому що хоча б одна з функцій f (x₁,x₂,…,x_k) або φ_i (x_i) ( i = 1,2,…,k) нелінійна щодо керованих змінних.

Для розглянутого приклада математична модель має вигляд:

Y2 =247,9641 - 930,3571*X4 + 73,538*X8 + 1009,39*X4^2 -

-4,44689*X8^2 - 140,1884*X4*X8 →> max

X5 = 2,4605*X7^3 - 10,061*X7^2+13,815*X7-5,6226

X6 = 18,481*X4^3- 15,579*X4^2+2,8223*X4+0,3562

X8 = -86,539*X7^4+518,28*X7^3-1141,3*X7^2+1098,8*X7-

- 390,07

0,2<=X4<=0,5 0,6<=X5<=0,9

0 <=X6<=0,7 1 <=X7<= 2 0 <=X8<= 4

Для розв’язання задачі нелінійної оптимізації треба скористатися надбудовою Excel Пошук розв’язку. Алгоритм необхідних дій для наведеної математичної моделі :

1. На робочому аркуші Excel розташувати вихідні дані (див.рис.14).

2. В комірки A1÷E1 записати імена керованих змінних, в комірку G1 - ім'я цільової функції.

3. В комірки A2 й E2 увести значення 1, як значення змінних, що ввійшли в цільову функцію ( при розв’язанні нелінійних задач не рекомендується задавати початкові нульові значення), значення інших змінних можна залишати нульовими.

4. Після закінчення пошуку розв’язку в комірках A1÷E1 з'являться оптимальні значення керованих змінних, а в комірці G2 - оптимальне значення цільової функції.

	A	B	C	D	E	F	G	H
1	X4	X5	X6	X7	X8		Y2
2	0,2	0,722559	0,445348	1,2115	1,161317	Шукані	149,1756	ЦФ
3	0,2	0,6	0	1	0	Нижня гр.
4	0,5	0,9	0,7	2	4	Верхня гр.
5		0,722559	0,445348		1,161316	Залежності
6		X5=F(X7)	X6=F(X4)		X8=F(X7)
7

Рис.14. Дані для Пошуку розв’язку.

5. В комірки A3÷E3 увести нижні припустимі значення керованих змінних , в комірки A4÷E4 - верхні.

6. В комірки B5, C5 , E5 увести формули залежностей , що накладають обмеження на значення керованих змінних , відповідно до математичної моделі й адресам (№ комірок) змінних (рис.15).

7. В комірку G2 увести формулу залежності цільової функції від керованих змінних (рис.15).

	A	B	C
1	X4	X5	X6
2	0,2	0,722575104348201	0,445348
3	0,2	0,6	0
4	0,5	0,9	0,7
5		=2,4605*D2^3-10,061*D2^2+13,815*D2-5,6226	=18,481*A2^3-15,579*A2^2+2,8223*A2+0,3562

	E
1	X8
2	1,16131678195123
3	0
4	4
5	=-86,539*D2^4+518,28*D2^3-1141,3*D2^2+1098,8*D2-390,07

	G
1	Y2
2	=247,9641-930,036*A2+73,538*E2+1009,39*A2^2- -4,44689*E2^2-140,1884*A2*E2

Рис.15.Розрахункові формули.

8. Викликати Сервіс – Пошук розв’язку .

Рис.16. Комп'ютерна модель задачі.

9. У діалоговому вікні ввести необхідні дані ( див. рис. 16 ). Для уведення Обмежень клацнути по кнопці Додати й у діалоговому вікні, що з'явилося, увести необхідні посилання й знаки нерівностей, як зазначено на рис.16.

10. Виконати.

11. Проаналізувати отримані результати й виробити рекомендації

із забезпечення оптимального управління.

Як видно з рис.14, оптимальне розв’язку при даних обме-

женнях і залежностях звелося до таких результатів.

Максимальне значення індексу зниження собівартості

продукції (Y2 = 149,1756 ) досягається при таких значеннях ознак :

трудомісткість одиниці продукції X4 = 0,5 ;

питома вага робітників у складі ППП X5 = 0,7226 ;

питома вага покупних виробів X6 = 0,4453 ;

коефіцієнт змінності встаткування X7 = 1,2114 ;

премії й винагороди на один працівника X8 = 1,1613%.