2.Первообр. и неопред. интеграл. Пусть имеется ф-ция у=f(x) определенная на некотором промежутке. Если существует ф-ция F(x) такая,что в каждой точке этого промежутка выполн-ся равенство F’(x)= f(x) ,то ее называют первообразной. Любые 2 первообразные одной и той же ф-ции отличаются друг от друга разве лишь на постоянные слагаемые. Определение: пусть имеется ф-ция f(x). Неопред.интегралом этой ф-ции назыв-ся всё множество её первообразной. Обозначения: .f(x) – подынтегральная ф-ция; f(x)dx – подынтегральное выражение. Х – переменная интегрирования. Из отпределения следует = F(x)+C, где F’(x)= f(x). С=const.

3.Св-ва неопред.интеграла.

1. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла = k

2. Интеграл от суммы функции = сумме интегралов от этих функций.

= + .

3. = F(x)+C, в частности = x + C.

4. =

Таблица :

= /k+1

= ln|x|+C

= /lna+C;

Sinx= - cosx; cos=sinx;

=tgx; = -ctgx;

=arcsin ; =arcsin

= arctg ; = arctgx ;

= ln +c

= ln| x+ | ;

= ln │ │

4.Осн.Методы интегрир.

Два основных метода:

1. метод интегрирования по частям

Формула: = UV – ,

Где U=U(x); V=V(x); dU=U’(x)dx; dV=V’(x)dx.

Пусть требуется вычислить некоторый неопред.интеграл. в этом интеграле выбирают часть,которую обозначают буквой U. тогда все оставшееся обозначится через dV. Далее, зная U с помощью производной находят dU, зная dV с помощью интегрирования находят V. Всё подставляют в правую часть формулы. Вновь полученный интеграл должен быть проще исходного.

Пример: = │U=x; dU=dx; dV=cosxdx; V=sinx│= xsinx - = xsinx +cosx+C.

2. метод замены переменной.

=

X=φ(t).

Пример: = │t= ; x= dx=2t dt│= = 2 = 2t+C = 2 +C.

8.Ряды.Необходимый признак

Рассм.бесконечную последовательность действительных чисел , ,…, .

Числовой ряд-это сумма всех этих членов. Обозначение ряда: .

Рассмотрим частичные суммы ряда: = ; = ; .

Рассм.последовательность частичных сумм . Если существует конечный предел при n→∞ lim =S, то говорят, что соответствующий числовой ряд сходится к этому числу S и пишут , в противном случае ряд называют расходящимся.

11.Свойства сход-ся рядов.

Пусть имеется числовой ряд . Отбросим k первых членов этого ряда, оставшийся ряд носит название k-ого остатка исходного ряда

- остаток.

– k-тый остаток.

1.числовой ряд и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно. Из этого свойства следует, что при исследовании ряда на сходимость можно игнорировать любое колич-во первых членов ряда.

2.Необходимое условие сходимости: Если числовой ряд сходится,то предел его общего члена равен нулю.

- сходится => =0.

Если предел n-ого члена числового ряда , то ряд расход. ( ≠0, то - расх. ).

3. пусть ряд с общим членом сход-ся к S, а С=const. тогда ряд с общим членом также сход-ся причем к числу СS. Таким образом умножение каждого члена ряда на одно и то же число не меняет его сходимости.

4. Если ряд с общим членом сход-ся к сумме , то ряд с общ.членом сход-ся к , то ряд с общ.членом + тоже явл-ся суммой + .

= + .

№12. Признак сравнения.

Пусть имеюся 2 положительных ряда и и пусть при любом n выполняется неравенство ≤ , тогда 1). Если -сход.,то -сход.

2). Если -расх., то -расх.

№13. Признак Даламбера

Пусть имеется положит.числовой ряд и пусть существует конечный предел =Д, тогда: 1)если Д>1, то ряд расх.

2). Если Д<1, то ряд сход.

3). Если Д=1, то признак не работает.

Признак Коши: Пусть имеется положит.числовой ряд и пусть существует конечный предел =k, тогда 1. Если k>1 – ряд расх.

2. Если k<1- сход.

3. Если k=1 – признак не работает.

№14. Интегральный признак.

Пусть имеется положит.числовой ряд и пусть существует непрерывная убывающая ф-ция f(x) определенная на промежутке [1; +∞) такая, что f(n)= , тогда числ.ряд и сход.или расх-ся одновременно.

. С помощью интегр.признака можно доказать, что при β≤1 ряд расх., а при β>1 ряд сход-ся.

Практически все числовые ряды с постоянными членами явл-ся расход-ся, исключение составляет ряд,состоящий из нулей - он сход-ся.

№15. Знакочередующиеся. Т.Лейбница.

Знакочередующимся называется числ.ряд, любые два соседних члена которого имеют разные знаки.

- + -…=

+ - +…=

Т.Лейбница. Пусть имеется знакочередующийся ряд где n>0 и пусть при этом выполняется 2 условия:

1. Числ.последовательность с общ.членом убывает

2. =0

Из этих двух следует, что исходный знакочеред.ряд сходится.

№16. Абсол.и усл.сход-ть ряда.

Рассм.ряд с произвольными членами (1) и соответствующий ему ряд из модулей (2). Пусть ряд (1) сход.,тогда если при этом ряд (2) тоже сход, то говорят, что ряд (1) абсолютно сход-ся, а если же ряд (2) при этом расх-ся, то говорят, что ряд (1)условно сход-ся.

Достаточный признак абсол.сходимости. Пусть имеется произвольный числ.ряд. Если соответствующий ему ряд из модулей сход-ся, то исходный произв.ряд абсолютно сход-ся.

№17. Функциональные ряды. Область сходимости.

Функциональный ряд – ряд, членами которого явл-ся функции.

+ +…+ +…=

Если в функц.ряд вместо x подставить какое-либо значение из области определения всех функций, то функц.ряд превратится в числовой. Полученный числовой ряд может как сходиться,так и расходиться. Совокупность всех значений переменной Х, при которых функц.ряд сход-ся называется областью сходимости функционального ряда.

№18.Степенные ряды.

Степенной ряд – функц.ряд, члены которого представляют собой степенные функции.

+ + + +… + …=

Здесь , , - действит.числа,называемые коэффициентами степенного ряда.

Все степ.ряды сход-ся в точке х=0, т.к.в этом случае все члены ряда кроме может быть первого =0. Существуют степ.ряды, которые сход-ся только при х=0. Такие ряды относятся к рядам 1го класса. При всех х отличных от нуля Д=∞ => при х ≠0 наш ряд расх-ся.

Сущ-ют степ.ряды,котор.сход-ся при всех действит.значениях х. Их отнесем к рядам 2го класса. Все остальные ряды отнесем к рядам 3го класса. Для всех рядов 3 класса сущ-ет положит.число,называемое радиусом сходимости (R), такое что при х (-R;R) ряд абсолютно сходится.

(-R;R) – интервал сходимости.

Чтобы найти область сходимости ряда 3го класса необходимо проверить сходится ли этот ряд на концах интервала, т.е.при х=- R и х= R. В зависимости от рез-тов проверки к интервалу сходимости либо не присоединяются концы, либо присоединяются один или оба.

Для ряда 1го класса R=0, а для ряда 2го класса R=∞.

Поиск радиуса: пусть имеется степ.ряд и пусть сущ-ет конечный предел |=L , тогда R= .

Если L=∞, то R=0 и если L=0, то R= .

№35. Система линейных уравнений

Системой линейных уравнений с n неизвестными называется система вида (1)

+…+ =

+ +…+ =

…………………………………………

+ +…+ =

– коэффициенты при переменных

Х - переменные

=1,…,m

1,…,n

(i – 1,…,m) - свободн.члены.

Решением системы (1) назыв-ся совок-ть, состоящая из n чисел ( при подстановке которой вместо , ,… соответственно в систему (1) каждое ур-ие этой системы обращается в верное равенство.

Система, не имеющая решений, наз-ся несовместной, система имеющая решения наз-ся совместной. Если совместная система имеет единственное решение, то её наз-ют определенной, если же она имеет больше 1 решения, то неопределенной.

№36. Решение с помощью обратной матрицы

Пусть имеется система линейных уравнений, у которой число уравнений совпадает с числом переменных (m=n)

+…+ =

+ +…+ =

…………………………………………

+ +…+ =

Пусть определитель матрицы системы . Это означает что для матрицы А существует обратная матрица.

В матричной форме записи этой системы (АХ=В) обе части равенства слева умножим на А^-1.

А^-1*A*X= А^-1*B

*B

Х= А^-1*В

Пример:

2 + - =8

- +2 = -1

-2 +3 =1

А= 2 1 -1

1 -1 2

4 -2 3

В= 8

-1 - столбец свободных членов

1

Найдем обратную матрицу по отношению к А.

|А|=-6 + 2 + 8 - 4 + 8 -3= 5

А’= 2 1 4

1 -1 -2

-1 2 3

= (-3+4)=1

= (3-2)=-1*1=1 И т.д.с остальными.

А˜= 1 -1 1

5 10 -5

2 8 -3

= * 1 -1 1

5 10 -5

2 8 -3

Х= * 1 -1 1 8 10 2

5 10 -5 * -1 = * 25 = 5

2 8 -3 1 5 1

ОТВЕТ: =2, =5, =1.