34.Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы,сохр.Ее ранг.

Опред-ли квадр.подматриц порядка к- это миноры порядка к.

Ранг матрицы - наивысший порядок отличного от 0 минора этой матрицы.

Ранг- это кол-во строк.

Пр-р: А=(0.1.0.2, 0.2.0.4, 0.3.0.6, 0.4.0.8)

Ранг этой матрицы не должен превышать 4.(=4,3,2или 1). ранг А≠4

Опред-ль данной М=0 т.к имеется нулевый столбец . ранг А=1.

Опред-ли всех подматриц 3го порядка также=0 изза нулевого столбца=>ранг ≠3

Все полматрицы 2го порядка будут иметь либо нулевой столбец либо 2 пропорциональных столбца, а значит их опред-ли=0 и ранг ≠2.

Нахождение ранга по опред. Оч трудоемко, поэтому на практике часто использ.метод элемент-ых преобр-ий матрицы.

Элементарные преобр. Которые сохр. ранг матрицы:

1) изменение порядка строк\столбцов

2)вычеркивание 0^йстроки.

3) умножение всех эл-ов к-либо строки на одно и тоже отличное от 0 число.

4) прибавление ко всем эл-ам строки соответ. эл-ов др. строки умножив на одно и тоже число.

5)транспонир.матрицы.

С помощью этих преобразований стараются привести матрицу к ступенчатому виду,т.е.эл-ты , номера строки которых = номеру столбца все не равны нулю, а те эл-ты , котор.наход-ся под ними все = 0.

23.Экстремумы функции многих переменных.Пусть имеется ф-я Z= f (x; y) точка (x₀, y₀) из области ее опред-я, называется точкой min для ф-и Z,если сущ.такая окрестность этой точки,что для каждой точки (x;y) этой окрестности выполняется нерав-во f(x₀; y₀)≤ f(x,y) аналогично опред.точка мах. Точки мах и мин. назыв. точками экстремума а значения ф-ии в этих точках экстремумами max и min. Необходимый признак экстремумы. Если у ф-ии z=f(x;y)в точке (x_0;y₀) имеется экстремум,то частные производные этой ф-ии в этой точке все=0,т.е если (х₀ у₀)-точки экстремума, то z_x(x₀;у₀)=0; z’ y(x₀y₀)=0 . Те точки в которых частные производные ф-ии =0 называется подозрительными на экстремум. (стационарными) Теорема достат. признак экстремума: пусть имеется ф-я z=f(x;y) и пусть в точке(x_0;y₀) подозрит.на экстр. сущ-т все 2е производные этой ф-ии. Обозначим z^’’_xx(x_0;y₀)=a_11,z’’_yy (x_0;y₀)= a_22, z’’_xy(x_0;y₀)=a_12, тогда если Д= а₁₁-а₂₂-а₁₂>0, то в точке (x_0;y₀) есть экстремум причем при а₁₁>0 min при а₁₁<0 max. Если же Д< 0 то в т. (x_0;y₀) экстремума нет, при Д=0 правило не работает. План исслед. ф-ии на экстремум: 1) найти частные произв.ф-и z=f(x.y)по обеим переменным Z_x=0, Z_y=0 . 2) приравн.их к 0 ,решить систему. решение этой системы будут представлять собой координаты точек подозрительных на экстремум. 3) найти все 2е частные производные z=f(x,y) и вычислить их значение а₁₁ а₂₂ а₁₂ в точках подозрительных на экстремум. (В каждой точке подозр.на экстремум вычислить значение Д и сделать вывод о наличии экстремума)

При Д>0 есть экстр. А₁₁>мин. А₁₁< 0 мах. При Д<0 нет. При Д=0 ,не работает. 4) найти экстрем. ф-ии. если они есть. (Д=а₁₁*а₂₂-а²₁₂)