31 Понятие определителя. Св-ва опред-ля.
Понятие опр-ля рассматривается только д/квадр-х матриц. Определителем матрицы 2го порядка называется разность между произведением эл-ов гл. диагонали и произвед. эл-тов побочной диагонали. Опред-м 3го порядка назовем число котор.Выч-ся по формуле:
а11а22а33 + а12а23а31 + а21а32а13 – а31а22а13 – а21а12а33 – а32а23а11.
Д/запоминания используют правило треугольников
.
Св-ва опред.
1) если 2 строки матрицы поменять местами то ее опред-ль смениться на противопол.
2)Пост-ый множ-ль эл-ов какой-либо строки опред-ля можно вынести за знак опред-ля.
3) если м.содержит нулевую строку .то ее опред=0
4) если м. имеет 2е одинак.строки. то ее опред=0
5)если м.имеет2е пропорциональные строки,то ее опред-ль =о
6) если к эл-там любой строки матрицы прибавить эл-ты др.строки,умноженные на одно и то же число неравное 0, то опред-ль матрицы не изменится.
25 Линейные дифференциальные уравнения 1порядка. Уравнения однородные относительно х и у. дифференциальным уравнением 1порядка называется уравнение вида F(x,y,y’)=0 . x- независимая переменная, y- неизвестная ф-я аргумента х.y’-производная ф-ии у. Решением дифференциального уравнения 1го порядка наз-ся такая ф-я у ,которая при перестановке в ур-ие обращает его в верное неравенство. Н-р. y*lny-xy’=0 exln(ex)-x*(ex)’=ex*x-xex=0 Каждое из решений диф-гоур-я наз-ют частным решением.совокупность всех частных решений предст. собой общее решение диф-гоур-я. Общее решение записывают в виде у=х(х;с) если найденную ф-ю невозможно решить относительно у , от общие решения записывают в виде f(x,y,c)=0 eh-z Уравнения однородные относительно х и у. Ур-е вида у’= F(x/y) или y’= F(y/x) называют однородные ур-ми.
Y’=(x/y)2+sinx/y или y’= 1/1+ y /x+ lnx/y - уравнения относит.х и у. Такого рода уравнения решаются с помощью подстановки t=x/y или t= y/x. В результате такой подстановки однор. ур-ие превращается в ур-ие с разделяющимися переменными. Оно решается обычным образом и затем делается обратная подстановка.
28Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. Линейным диффер. Ур-м 2 порядка с постоянными коэф-ми назыв.ур-е вида y’’+py’+qy=f(x) где p и q это числа постоянные действительные, а f(x) -ф-ия аргумента х.
сли f(x)≠0, то это ур-е назыв. неоднородным, а если ур-е = 0 ,то y’’+py+qy=0 ,такое ур-е назыв. однородным.
Решение неоднородных ур-й . y’’+py’+qy=f(x) решение неоднор.ур-я (общее) представляет собой сумму общ.решения соотв-го однородного ур-я и какого-нибудь частного решения самого неод.ур-я. Способ поиска частного решения неоднор.ур-я зависит от вида правой части ур-я. 1) пусть f(x)=eϒx(anxn+an*1xn-1+…+a1x+a0) А) Если ϒ не явл.корнем хар-го ур-я, то частное решение будем искать в виде ỹ=уϒх*Рn(х) многочлен той же степени, что и тот , который находится в правой части ур-я с неопред.коэф-ми.
Б) если ϒявл.одним из 2х один. корней (при Д=0) то частное решение будем искать в виде ỹ=еϒх*х2* Рn(х)
В)если ϒ один из 2х разл.действит. корней хар-го ур-я, то частное решение ищем в виде ỹ=еϒх*хРn(х)
32.Миноры и алгебраические дополнения; Теорема Лапласа. Пусть имеется матр.n-го порядка. минором ее эл-та аijназыв.определитель(n-1) порядка, который получ. Из опред-ля исходной матрицы при вычеркивании i строки и jстолбца. Алгебраическим дополнением элемента Аijназывается его минор, взятый со знаком (-1)i+j
Аij=(-1)i+j× Mij Алгебр.дополнение совпадает с минором если сумма номера строки и №столбца соотв-го эл-та четно. Если же она не четна,то алгебр. доп-е противопол-но минору. Теорема Лапласа. Определитель матрицы =сумме производений всех эл-ов какой-либо строки этой матрицы на их алгебр.дополнения. |А|=аi1*Ai1+ai2*Ai2+…+ain*Ain-разложение определителя по iой строке.
Пр-р: 1) матрица: А=(2.3.1,0.2.5,4.1.-1) Найдем опред.используя разлож.по 2му столбцу:
|A|=3(-1)^1+2 *|0.5,4.-1|+2(-1)^2+2*|2.1,4.-1|+1(-1)^3+2|2.1,0.5|=-3*(0-20)+2(-2-4)+(-1)10=38
Проверим по опред-ю:|А|=-4+60-8-10=38 2) Рассм.матр.треуг-го вида: В=(1.2.3,0.2.6,0.0.5)
Разл.по 1му столбцу |В|=1(-1)1+1|2.6, 0.5|=1*2*5=10 . Опред-ль этой матр.=произвед.-ию эл-тов стоящих на гл.диагонали.
33.Обратная матрица.Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью присоед.матр-ы. Обр.матрицей по отношению к матрице А называется такая матрица,при умножении которой на а слева и справа в результате получ-ся единичная матрица. А-1-обратная матрица. Обратная матрица существует не для каждой матр.А.Во 1) матрица А должна быть квадратной.2) Матрица А должна иметь ≠0 определитель. В этом случае матрицу называют невырожденной если =0 то называют вырожденной.
План нахождения обратной матрицы:1) найти опред.матр. |А| 2) найти матр. транспонирующую для матр. А| (1ю строку переставляем в 1ый столбец) 3) найти алгебр. дополнение всех эл-ов транспонир-ой матр. и составить из них новую матр,котор.назыв.присоедененной и обозначают ~А . (а11,а22, и т.д) 4). Найти обр.матрицу по формуле А-1=1 / |A|*A~