12) Плавание тел. Закон Архимеда

На лесосплавных предприятиях лесной промышленности до­вольно часто приходится встречаться с плавающими бревнами, бонами, пучками, плотами, сплоточными машинами, патруль­ными судами, буксирными катерами и др. Поэтому важно знать законы плавания тел, уметь определить их остойчивое и нео­стойчивое положение на вод? при воздействии на них грузов и других внешних сил.

Закон Архимеда о силе, действующей на погруженное в воду тело, был сформулирован Архимедом за 250 лет до н. э. На ос­нове закона Архимеда были в последующем разработаны во­просы теории корабля, изложенные в трудах Эйлера, С. О. Ма­карова и А. Н. Крылова. Закон Архимеда формулируется следующим обра­зом: на погруженное в жидкость тело действует выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной этим телом. Для доказательства этого положения рассмотрим действующие на погруженное в жидкость тело А (рис. 20, а) силы: давление жидкости на тело сверху Р\\ давление жидкости на тело снизу Р₂;

давление жидкости на боковые стороны тела Р_п.

Так как на боковые стороны действуют равные, но противо­положно направленные силы, то равнодействующая их равна нулю. Сила веса G погруженного тела А направлена вниз

Давление жидкости на тело А сверху будет Pi = pgHiQ.

Давление жидкости на тело снизу P₂=pgH₂Q. Суммарное давление жидкости на погруженное тело, или вы­талкивающая сила, будет оавна оазности сил Pi и Р%, а именно:

(106)

где Н — высота тела, м; Q — площадь верхней или нижней грани тела, м²; hi — глубина погружения в жидкость верхней грани тела, м; Я₂ — глубина погружения в жидкость нижней грани тела, м.

Так как Ни представляет собой объем V погруженного тела, то выталкивающая си"°

(107)

Следовательно, подъемная, или выталкивающая, сила, дей­ствующая на погруженное в жидкость тело, равна весу жидкости, вытесненной данным телом.

Величина выталкивающей силы не зависит от глубины по­гружения плавающего тела и будет постоянной при погружении тела на различные глубины. Закон Архимеда можно применять лишь для тел, плавающих на поверхности жидкости, точнее для погруженной в жидкость части Плавающего тела, на которую действует гидростатическое давление.

10) Силы давления жидкости на плоские поверхности. Определение точки приложения.

Давление жидкости на плоскую горизонтальную поверхность. Гидростатический парадокс

Имеем сосуд (рис. 12, а) с глубиной воды h. Давление жидкости в какой-либо точке сосуда зависит от глубины погру­жения этой точки. Если взять точки А, В и С, то давления в них будут соответственно равны

Сила гидростатического давления на горизонтальную пло­щадку (Ос

Сила гидростатического давления на все дно сосуда площа­дью и может быть определена по Аоомуле -

(67)

Следовательно, суммарная сила давления жидкости на гори­зонтальную поверхность равна весу столба жидкости/ располо­женной над рассматриваемой поверхностью.

На рис. 12, б изображены три сосуда различной формы. Пло­щадь дна Q всех трех сосудов одинакова. Все сосуды напол­нены однородной жидкостью на глубину Н. На рис. 12, б Н=H1+H₂. Гидростатическое давление на дно во всех сосудах будет одинаковым и равным p = pgH.

Суммарная сила гидростатического давления на- дно любого из трех показанных на рис. 12, б сосудов будет также одинако­вой и равной P = pxQ = pgHQ. Спрашивается, откуда в сосуде I берется дополнительная сила по сравнению с сосудом // и куда пропадает избыток веса жидкости в сосуде /// по сравнению с сосудом II. Нет ли здесь противоречия с законами физики? Законы гидравлики утверждают, что давление жидко­сти не зависит от формы сосуда, а зависит от

глубины погружения площади-и ее размеров. В этом и заключается гидростатический парадокс, который мо­жет быть объяснен особым свойством жидкости передавать внешнее давление одинаковой величины по всем направлениям (закон Паскаля). Например, на дно сосуда /// действует сум­марная сила гидростатического давления P = pgHQ. Что ка­сается жидкости, находящейся в объемах (АВС)В\тл (А'В'С')В', то ее вес воспринимается наклонными стенками, а не дном со­суда. Безусловно, если сосуд /// будет стоять на столе, то стол воспринимает вес всей жидкости, находящейся в сосуде. Сле­довательно, никакого противоречия между законами физики и гидравлики не существует. Суммарная сила гидростатического давления на дно сосуда зависит от плотности жидкости, глу­бины наполнения сосуда и величины площади его дна и не за­висит от формы сосуда. тогда

(69)

где jq t/dco — статический момент площади относительно оси х. Как известно, статический момент площади равен произведе­нию площади на расстояние у₀ от центра его тяжести до рас­сматриваемой оси. Следовательно,

На рис. 13 видно, что y₀s\na = h₀. Тогда, подставляя значе­ние статического момента в уравнение (69) и заменяя через h₀ получим

' (70)

При ро—ра на щит будет действовать слева атмосферное давление и справа давление со стороны жидкости, направлен­ные навстречу друг к другу. Поэтому формула (70) для этого случая будет иметь вид

(71)

Из уравнения (71) видно, что суммарная сила давления жидкости на плоскую поверхность равна произведению пло­щади смоченной фигуры на давление в центре ее тяжести. Нетрудно видеть также, что сила Р состоит из двух слагаемых! внешней силы суммарного гидростатического давления рой и силы избыточного давления pg/ioQ. Первая сила приложена в центре тяжести фигуры. Точка приложения второй силы (центр давления) располагается ниже центра тяжести.

3. Определение местоположения центра давления

Центром давления называют точку приложения равнодей­ствующей избыточного гидростатического давления. Для уста­новления размеров щитов, затворов и других частей" сооруже­ний определяют не только величину, но и точку приложения суммарной силы гидростатического давления.

Для определения центра давления Ц. Д. обратимся вновь к рис. 13 и воспользуемся известной теоремой теоретической механики о том, что момент равнодействующей силы равен сумме моментов составляющих сил. На основании указанной теоремы напишем уравнение моментов относительно оси х, по­лагая, что координата центра давления равна г/_с-Тогда

(72)

Из.рисунка видно, что

Равнодействующая сила

(73) В свою очередь

Но интеграл §_u&<s>y* = I_x — момент инерции смоченной пло­щади относительно оси х.

Тогда pgsina^Q^^pgsin/,, или

(74) и ордината центра давления

(75) Момент инерции /_ж может быть определен по формуле

(76)

гДе /о — момент инерции смоченной фигуры, вычисленный от­носительно оси, проходящей через центр ее тяжести.

Подставим значение /* в уравнение (75). После несложных преобразований окончательно получим

(77)

Отсюда следует, что центр давления всегда располагается ниже центра тяжести фигуры на величину /о/Йг/о, в случае, когда щит расположен горизонтально, его центр давления сов­падает с центром тяжести.