Міністерство освіти і науки України

Київський національний університет технологій та дизайну

Лінійна алгебра. Математичне програмування.

Методичні вказівки і контрольні роботи для студентів заочної та дистанційної форм навчання економічних спеціальностей.

Київ 2006

Лінійна алгебра. Математичне програмування. Методичні вказівки і контрольні роботи для студентів заочної та дистанційної форм навчання економічних спеціальностей./Упор. Лучка Т.Ф., Попов П.А. – К.КНУТД, 2006. – 27 с. Укр. мовою.

Упорядники:

Лучка Тамара Федорівна, доцент

Попов Петро Аркадійович, доцент

Відповідальний за випуск

Задерей Петро Васильович, професор,

завідувач кафедри вищої математики

Затверджено на засіданні

кафедри вищої математики

Протокол №9 від 30.05.2005

Студентам заочної та дистанційної форм навчання необхідно самостійно працювати з підручником, складати короткий конспект вивченого матеріалу і навчитися опрацьований матеріал застосовувати до розвязування задач. Запропоновані методичні вказівки мають на меті допомогти студентам оволодіти теоретичним матеріалом з лінійної алгебри і математичного програмування. Вони містять програму курсу, список рекомендованої літератури, завдання для контрольної роботи, короткі відомості із теорії і зразки розв’язування типових задач.

Програма курсу лінійної алгебри та математичного програмування.

1. Матриці: види матриць, лінійні операції, множення, обертання, ранг матриці.

2. Системи лінійних рівнянь. Метод Жордана – Гаусса розвязування лінійних систем. Опуклі множини і функції.

3. Постановка задач лінійного програмування. Канонічні форми задач. Властивості розвязків.

4. Графічний спосіб розв’язування задач лінійного програмування.

5. Симплекс-метод.

6. Двоїстість задач лінійного програмування.

7. Транспортна задача, методи її розв’язування (метод північно-західного кута, мінімального елемента, розподільчий, потенціалів).

8. Елементи нелінійного програмування.

Література

1. Гетманцев В.Д. Лінійна алгебра і лінійне програмування. – К.: Либідь, 2001, 254 с.

2. Цегелик Г.Г. Лінійне програмування. – Львів.: Світ, 1995, 216 с.

3. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. – М.: Высш. школа, 1980. – 380 с.

4. Калихман И.Л. Сборник задач по линейной алгебре и программированию. – М.: Высш. школа, 1969. – 160 с.

Контрольна робота

Задачі 1-10. Знайти розв’язки системи лінійних рівнянь методом Жордана-Гаусса.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Скласти математичну модель економічної задачі

11. Процес виготовлення двох видів промислових виробів полягає у послідовній обробці кожного з них на трьох верстатах. Час використання кожного верстату не більше 10 годин за добу. Час обробки і прибуток від продажу 1 виробу кожного виду подано в таблиці. Знайти об’єми виробництва виробів кожного виду для одержання максимального сумарного прибутку.

Виріб	Час обробки в хв.			Питомий прибуток (грн.)
	верстат № 1	верстат № 2	верстат № 3
1	10	6	8	2,5
2	5	20	15	4,3

12. Підприємство електронної промисловості випускає дві моделі радіоприймачів. Кожна модель виробляється на окремій лінії. Добовий об’єм першої лінії – 60 виробів, а другої – 75. На радіоприймачах І моделі витрачається 10 однотипних елементів, а другій моделі – 8. Добовий запас цих елементів становить 800 штук. Прибуток від реалізації І та ІІ моделі 300 та 200 грн. відповідно. Визначити оптимальні добові об’єми виробництва радіоприймачів кожної моделі.

13. Підприємство випускає два види виробів, для яких застосовуються 3 операції.

Виріб	Час операції на 1 виріб			Прибуток від реалізації
	операція 1	операція 2	операція 3
1	1	3	2	3
2	2	-	1	2
Час виконання на добу	430	460	420

Визначити оптимальні об’єми виготовлення виробів кожного виду.

14. Підприємство виготовляє виріб, що складається з двох різних вузлів, які виготовляються на 2-х заводах. Визначити щотижневі витрати часу на виробництво вузлів кожного виду для отримання максимального випуску виробів.

Завод	Тижневий фонд робочого часу	Продуктивність вузлів за годину
1	100	8	15
2	80	6	12

15. Технологічний процес складається з двох етапів. На першому етапі сировина переробляється в 3 проміжних продукти, які використовуються на другому етапі для виготовлення кінцевої продукції. Вартість 1 т. кінцевої І типу – 50 грн., ІІ типу – 60 грн.

Продукти (проміжні)	Вихід з 1 т. сировини	Витрати на 1 т. кінцевого продукту
1	460	250	800
2	200	250	200
3	340	500

Скласти виробничу програму так, щоб сумарна вартість випущеної продукції була максимальною.

16. Складається раціон харчування для двох хворих, який містить два продукти. Порція першого коштує 5 грн., другого – 7,5 грн. Раціон повинен містити не менше, ніж 40 г вуглеводів, не менше, ніж 30 г білків і не менше 6 г жирів.

Продукти	Вміст речовини в порції
	вуглеводи	білки	жири
1	5	5	0,5
2	5	3	1

Скласти раціон так, щоб витрати на нього були мінімальними, але забезпечували норми харчування.

17. Підприємство випускає дві моделі виробу, для яких необхідні деталі № 1, 2, 3, 4.

Деталі, №	Необхідна кількість деталей		Наявність деталей
	Виріб 1	Виріб 2
1	2	5	300
2	4	5	400
3	3	-	180
4	-	4	200

Прибуток від реалізації першої моделі – 5 грн., другої – 8 грн. Знайти об’єми виробництва виробів кожної моделі, щоб одержати максимальний прибуток.

18. Кожній худобі щодня необхідно не менше 90 г вуглеводів, 120 г білків і 80 г жирів. Використовується 2 види кормів.

Корми	Вміст в 1 кг корму
	вуглеводи	білки	жири
1	30	10	10
2	10	60	20

Скласти добовий раціон так, щоб витрати були мінімальними, якщо 1 кг корму № 1 коштує 4 грн., № 2 – 6 грн.

19. Підприємство виготовляє два види продукції А і Б. Об’єм збуту А не менше 60% сумарного об’єму реалізації обох видів. Для виготовлення продукції двох видів потрібна сировина, добовий запас якої обмежений 100 кг.

Продукція	Витрати сировини на одиницю/кг	Ціна одиниці
А	2	20
Б	4	40

Визначити розподіл сировини для виготовлення продукції А та Б, щоб досягти сумарної максимальної вартості виготовлення продукції.

20. Завод виробляє фарби Ф і Х, для виготовлення яких необхідні продукти А та В.

Продукти	Витрати за добу (т)для виготовлення фарб		Добові запаси (т)
	Ф	Х
А	1	2	не менше 6
В	2	1	8

Добовий попит на Ф не перевищує попиту на фарбу Х не більше, ніж на 4 т. Попит Ф 2 тонн на добу. Визначити об’єм виробництва фарб, щоб доход від реалізації був максимальний. Ціна одиниці випуску фарби Ф – 2 умовні одиниці, а фарби Х – 3 умовні одиниці.

Задачі 21-30. Розв’язати графічним методом ЗЛП.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

Задачі 31-40. Розв’язати симплекс-методом ЗЛП.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

В задачах 41-50 скласти двоїсту задачу до даної.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

51-60. Розв’язати транспортну задачу.

51.

6	2	5	3	Запаси 60
4	9	6	5	30
9	3	7	3	60
40	30	50	30	Потреби

52.

4	6	2	2	Запаси 40
3	2	1	3	30
7	5	5	4	50
32	31	44	13	Потреби

53.

2	5	3	8	Запаси 75
2	3	7	9	80
9	1	6	4	90
40	78	58	69	Потреби

54.

3	2	3	1	Запаси 75
7	5	4	1	90
2	7	9	5	85
60	35	85	70	Потреби

55.

7	2	3	1	Запаси 60
5	1	3	3	82
4	7	6	2	58
35	48	85	32	Потреби

56.

4	7	3	1	Запаси 65
8	2	4	6	90
9	3	8	1	95
95	55	60	40	Потреби

57. 58.

6		4		4		5		Запаси 200
6		9		5		8		300
8		2		10		6		100
150		250		90		110		Потреби
	5		4		6		3		Запаси 25
	4		5		5		8		75
	7		3		4		7		70
	50		50		40		30		Потреби

59.

5	4	3	2	Запаси 30
4	3	2	1	50
2	3	4	6	40
20	10	45	45	Потреби

60.

7	4	6	2	Запаси 40
6	9	5	4	70
8	2	7	6	60
55	45	45	25	Потреби

61-70. Розв’язати транспортну задачу.

61.

	В1	В2	В3	В4	Запаси
А1	3	4	7	1	10
А2	2	3	5	4	20
А3	1	2	3	1	70
Потреби	10	30	30	50

62.

	В1	В2	В3	В4	Запаси
А1	2	3	5	7	20
А2	1	4	2	3	60
А3	8	3	2	5	40
Потреби	50	20	10	70

63.

	В1	В2	В3	В4	Запаси
А1	3	4	5	1	15
А2	7	2	3	8	35
А3	1	3	5	4	70
Потреби	20	10	45	25

64.

	В1	В2	В3	В4	Запаси
А1	2	1	6	8	75
А2	3	2	5	2	15
А3	2	3	2	5	60
Потреби	15	45	25	35

65.

	В1	В2	В3	В4	Запаси
А1	9	8	7	4	15
А2	1	2	3	1	35
А3	4	1	5	1	10
Потреби	10	40	20	20

66.

	В1	В2	В3	В4	Запаси
А1	6	4	2	1	30
А2	3	4	5	1	40
А3	1	2	5	3	30
Потреби	10	20	15	25

67.

	В1	В2	В3	В4	Запаси
А1	5	2	3	4	25
А2	6	7	1	2	15
А3	2	1	4	3	45
Потреби	15	20	50	30

68.

	В1	В2	В3	В4	Запаси
А1	8	2	6	5	40
А2	4	1	1	2	15
А3	1	3	1	4	65
Потреби	25	5	15	20

69.

	В1	В2	В3	В4	Запаси
А1	4	5	4	1	15
А2	3	2	1	4	25
А3	4	1	1	2	40
Потреби	20	30	15	55

70.

	В1	В2	В3	В4	Запаси
А1	5	1	3	2	70
А2	6	4	1	1	30
А3	3	2	4	4	40
Потреби	10	20	30	30