- •Затверджено на засіданні
- •Програма курсу лінійної алгебри та математичного програмування.
- •Література
- •Контрольна робота
- •Скласти математичну модель економічної задачі
- •Короткі відомості з теорії та приклади розв’язування типових задач
- •Математичні моделі економічних задач
- •Основні поняття математичного програмування
- •Графічний метод розв’язування злп
- •Симплексний метод
- •Двоїсті задачі
- •Транспортна задача
Математичні моделі економічних задач
Математична модель задачі – це відображення оригінала у вигляді функцій, рівнянь, нерівностей. Математична модель включає: 1) сукупність невідомих величин , які називають планом задачі; 2) цільову функцію (функцію цілі, показника ефективності, критерій оптимальності); 3) умови (або систему обмежень), яким підпорядковуються невідомі величини. Їх сукупність утворює область допустимих розв’язків (область економічних можливостей).
Задача. На дільниці цеху виготовляють деталі двох найменувань А і В за допомогою двох операцій на токарному та фрезерувальному верстатах. Витрати часу на обробку однієї деталі на кожному з верстатів у годинах подано у таблиці.
Верстат |
Деталі |
|
А |
В |
|
Токарний |
0,25 |
0,1 |
Фрезерувальний |
0,15 |
0,3 |
За планом деталей А необхідно виготовити не менше як 500 одиниць за місяць, а деталей В – не менше як 210 одиниць. Скласти найкращу програму (план) оптимального використання обладнання, коли відомо, що фонд часу (тривалість роботи) кожного з верстатів становить відповідно 180 годин за місяць для токарного верстата і 170 годин для фрезерувального.
Розв’язання. Будемо вважати, що деталей А треба виготовити одиниць, а деталей В – одиниць. На обробку запланованих деталей на токарному верстаті доведеться витратити таку кількість годин: деталей А – 0,25 годин і деталей В – 0,1 годин, але сума цього часу не може перевищити 180 годин, тобто
Для фрезерувального верстата на обробку деталей може піти не більше 170 годин, тобто
За планом деталей А треба виготовити не менше як 500 одиниць, тобто а деталей В не менше як 210 одиниць –
Задача виробництва полягає в тому, щоб не перевищити фонд часу кожного з верстатів, виконати план і випустити найбільшу загальну кількість продукції. Позначимо загальну кількість продукції буквою тоді
Одержали таку математичну модель задачі:
Невід’ємність змінних і випливає з умови задачі.
Основні поняття математичного програмування
Математичне програмування – це наука про методи дослідження на екстремум та найбільше значення функції багатьох змінних, на невідомі якої накладено обмеження (умовний екстремум).
Цільовою називають функцію, оптимальне значення якої шукають.
Якщо цільова функція і система обмежень лінійні, то задача математичного програмування є задачею лінійного програмування.
Допустимим розв’язком (планом) задачі лінійного програмування називається будь-який п-мірний вектор , що задовольняє системі обмежень і умовам невід’ємності.
Оптимальним розв’язком (планом) задачі лінійного програмування називається такий допустимий розв’язок (план) задачі, при якому цільова функція досягає екстремуму.
Форми записів задач лінійного програмування (ЗЛП)
Канонічна форма запису ЗЛП
– цільова функція.
(1)
Симетричні форми запису ЗЛП:
,
(2)