Короткі відомості з теорії та приклади розв’язування типових задач

Системи лінійних рівнянь, метод Жордана-Гаусса.

Система лінійних рівнянь у загальному випадку має вигляд

де – невідомі, які треба знайти; – коефіцієнти при невідомих; – вільні члени системи.

Розв’язком системи називають сукупність чисел , яка при підстановці її в систему замість невідомих перетворює всі рівняння системи у тотожності.

Сумісною називається система рівнянь, якщо вона має принаймні один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку.

Визначеною називають систему, яка має єдиний розв’язок, і невизначеною ту, яка має безліч розв’язків.

Еквівалентними або рівносильними називають дві системи лінійних рівнянь, якщо вони сумісні і мають однакові розв’язки, або якщо вони несумісні.

Метод послідовного виключення змінних системи, або метод Гаусса є зручним, бо не вимагає великої кількості обчислень.

Метод Жордана-Гаусса є вдосконаленим варіантом метода Гаусса. Цей метод дає можливість розширену матрицю системи звести до одиничної матриці системи, використовуючи тільки еквівалентні перетворення системи.

Приклад. Розв’язати методом Жордана-Гаусса систему лінійних рівнянь

Розв’язання. Для зручності обчислень всі коефіцієнти при невідомих та вільні члени системи записують у вигляді таблиці, яку часто називають симплексною. Для перевірки правильності кроку перетворень у таблицю ще записують контрольний стовпчик, елементи якого дорівнюють сумі елементів відповідного рядка.

Зауваження. Еквівалентні перетворення системи лінійних рівнянь дають можливість обминути дробових значень елементів, які можуть з’явитися при діленні елементів відповідного рядка на щоб на місці елемента була одиниця. Значень і можна досягнути за допомогою перестановки місцями рівнянь або відніманням (додаванням) одного рівняння від іншого, домноживши це рівняння на відповідний множник. Розглянемо це на прикладі даної системи. Для початку поміняємо місцями рівняння системи, а потім запишемо одержані значення у симплексну таблицю.

					К
1	3	1	1	-1	5	* (-1)*(-2)
1	-2	-1	2	5	5	+
0	2	1	-2	-4	-3
2	0	2	1	3	8	+
1	3	1	1	-1	5
0	-5	-2	1	6	0	+
0	2	1	-2	-4	-3
0	-6	0	-1	5	-2	*(-1)
1	3	1	1	-1	5	+
0	1	-2	2	1	2	(-3)(-2)*(-6)
0	2	1	-2	-4	-3	+
0	6	0	1	-5	2	+
1	0	7	-5	-4	-1
0	1	-2	2	1	2
0	0	5	-6	-6	-7	*(-2)
0	0	12	-11	-11	-10	+
1	0	7	-5	-4	-1
0	1	-2	2	1	2
0	0	5	-6	-6	-7	+
0	0	2	1	1	4	*(-2)
1	0	7	-5	-4	-1	+
0	1	-2	2	1	2	+
0	0	1	-8	-8	-15	(-7)(2)*(-2)
0	0	2	1	1	4	+