5.Различные уравнения прямой.

1.Общее уравнение прямой:

2.Каноническое уравнение прямой:

k=tgα

y-B=kx

y=kx+B

3.Ур-е пучка прямых, проходящих через заданную точку:

y=kx+b

y=kx+ -k

y- =kx-k

4.Ур-е прямой. проходящей через 2 заданные точки:

y - =k(x- )

k=

y-

9.Гипербола.

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от

которых до двух заданных точек  F₁ (с;0)и F₂ (-с;0), называемых  фокусами гиперболы, есть вели-

чина постоянная =2а.

Здесь начало координат является центром симметрии гипер-

болы, а оси координат – её осями симметрии. Отрезок  F₁F₂ = 2 с , где  , c называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется  действительной осью гиперболы, а отрезок  CD = 2 b –  мнимой осью гиперболы.

Число  𝛏= c / a ,  e > называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые   y = ± ( b / a ) x называются 

асимптотами гиперболы. Прямые х= называются директрисами гиперболы.

Уравнение гиперболы :

Доказательство:

7.Общее уравнение кривой. Кривые второго порядка.

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0

если B=0,то кривые наз-ся центрально симметричными.

Ур-е имеет вид:

Рассматривается произведение А×С

• Если  ,А×С˃0, то эллипс;

• Если  А×С˂0, то гипербола;

• Если  А×С=0 , то парабола.

Выделяем полный квадрат уравнения

 получим:

 или

,

обозначим: 

;   .

1)Если  А×С˃0 , то уравнение задает кривую эллиптического типа. Причем:

- мнимый эллипс.

- точка  .

, то имеем   - канонический вид эллипса.

2)Если А×С˂0, то уравнение задает кривую гиперболического типа. Причем:

Если  , или     имеем:  или     - канонический вид гиперболы.

Если   и учитывая знаки   А  и С  имеем:   - пара пересекающихся прямых(вырожденная гипербола)

3)Если:

С=0 , то общее уравнение   задает кривую параболического типа. Выделяя полный квадрат имеем: .Обозначим:   имеем:  - канонический вид параболы.

А=0 , то   - кривая параболического типа. Выделяя полный квадрат имеем: .Обозначим:   - имеем:  - канонический вид параболы.

8.Эллипс.

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух

з аданных точек  F₁ (с;0) и  F₂  (-с;0), называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная = 2а.

Здесь начало координат является центром симметрии эллипса, 

а оси координат – его осями симметрии. При  a > b фокусы

эллипса лежат на оси ОХ  , при  a < b  фокусы эллипса лежат на

оси ОY , а при  a = b  эллипс становится окружностью. Таким

образом,  окружность есть частный случай эллипса. Отрезок 

 F₁F₂ = 2 с ,  где  , называется  фокусным рассто

янием. Отрезок  AB = 2 a называется большой осью эллипса, а

отрезок CD = 2 b – малой осью эллипса. Число   = c / a ,  e < 1

называется эксцентриситетом эллипса.

Число х= называется директрисой эллипса.

Уравнение эллипса : + =1, b=

 Доказательство.     Пусть М(x;y)  -- текущая точка эллипса. По определению эллипса F₁M+F₂M=2a.

Фокусами в выбранной системе координат являются точки F₁(-c;0),F₂(c;0) . Находим

Тогда по определению эллипса

Учитывая, что b²=a²-c², имеем равенство x²b²+y²a²=a²b²

Наконец, разделив обе части на a²b² , получим уравнение + =1