4.8. Расчет переходных процессов операторным методом.

При операторном методе расчета функция вещественного переменного (в нашем случае это и ) заменяется функцией комплексного переменного , т е рассмотрение переводится из временной области в область комплексных величин. При этом исходная функция называется оригиналом, а функция комплексного переменного изображением. Оригинал и изображение связаны прямым

и обратным преобразованием Лапласа

(интеграл Бромвича).

Основным достоинством использования операторного подхода является то, что в области комплексных величин систему интегродифференциальных уравнений относительно оригиналов удается заменить системой алгебраических уравнений относительно изображений, что значительно облегчает расчеты. Кроме того, при операторном методе не нужно вычислять по начальным условиям постоянные интегрирования. При этом дифференцирование заменяется умножением на оператор ,а интегрирование – делением на .

При расчете операторным методом элементы цепи удобнее представить в операторной форме. При этом при ненулевых начальных условиях в цепях с операторными емкостями и индуктивностями должны быть учтены условные внутренние ЭДС или источники тока (рис.4.19), т.е. фактически учитываются начальные условия.

Рис. 4.19.

где , , и – начальные значения тока в индуктивности и напряжения на емкости. Заметим, что ЭДС имеет направление, совпадающее с током , а ЭДС направлена против напряжения на емкости. Т.е. выражения для напряжений на емкости и индуктивности

,

в операторной форме принимают вид

, .

Рис. 4.20.

Например, исходная схема (рис. 4.20.а) при операторном методе расчета после коммутации преобразуется в вид, представленный на рис. 4.20.б.

Изображения обладают линейными свойствами. Например, дифференциальное уравнение цепи при нулевых начальных условиях ,

при переходе к изображениям принимает вид

,

.

где - сопротивление в операторном виде, соответственно – операторная проводимость. Операторное сопротивление записывается так же, как и сопротивления для тех же цепей в комплексной форме, только множитель нужно заменить на .

В операторной форме могут быть записаны и все рассмотренные ранее законы токопрохождения после замены комплексного сопротивления на операторное сопротивление (проводимость).

Например: - закон Ома;

- 1-й закон Кирхгоффа.

Запишем второй закон Кирхгоффа, учитывая, что в любом замкнутом контуре, состоящем из ветвей.

.

Тогда в операторной форме

.

При нулевых начальных условиях

.

После решения системы уравнений, по найденным изображениям при помощи обратного преобразования можно найти оригинал. На практике обычно пользуются не интегралом Бромвича, а готовыми специальными таблицами. Приведем ряд примеров

оригинал	Изображение	Оригинал	Изображение

Рассмотрим также несколько теорем, которые часто используются при решении.

Теорема разложения. Если изображение имеет вид рациональной дроби

причем степень меньше степени , а и – вещественные числа и корни уравнения различны, то оригинал определяется выражением

.

Если в уравнении есть один корень, равный 0, т.е. , тогда

Теорема запаздывания оригинала.

,

где - символ взаимно-однозначного соответствия.

Теорема смещения изображения:

.

Изображение переходной характеристики можно получить учтя, что изображение единичного напряжения есть например для переходной проводимости

.

Изображение импульсной характеристики получается умножением соответствующей переходной характеристики на оператор .

,

тогда операторный единичный импульс

В целом методика решения операторным методом сводится к следующему:

а) С учетом начальных условий составляют систему уравнений Кирхгоффа (или по методу контурных токов или узловых потенциалов) в операторной форме.

б) Находят решение относительно изображения.

в) Находят оригинал, используя таблицы, теорему разложения и др. методы.