3. Контрольні роботи та вибір варіанту

У процесі вивчення курсу студенти виконують контрольну роботу, мета якої — активізація самостійної роботи. Рецензія на контрольну роботу дозволяє студенту визначити рівень засвоєння ним відповідного розділу курсу, вказує на недоліки з метою їх усунення.

Не слід приступати до виконання контрольного завдання без достатнього засвоєння матеріалу, відповідного цьому завданню. Контрольна робота повинна виконуватися самостійно і в повному обсязі.

Варіант контрольної роботи визначається останньою цифрою номера залікової книжки. Якщо остання цифра «0», то виконується варіант № 10. Контрольна робота, виконана не за своїм варіантом, не рецензується та не зараховується.

Контрольна робота виконується українською мовою на стандартних аркушах паперу формату А4, залишаючи береги у відповідності до держстандартів.

На титульному аркуші слід вказати:

• повну назву інституту, факультету, дисципліни;

• курс, шифр групи, варіант завдання (номер залікової книжки), прізвище, ім’я та по-батькові;

• у правому нижньому кутку вказати домашню адресу.

В кінці роботи подається список використаних джерел інформації з посиланням на автора і повної назви джерела. Після цього ставиться підпис і дата виконання роботи.

Основний зміст контрольної роботи.

Студент відповідає на питання, що визначені варіантом завдання. Якщо контрольна робота не одержала залік рецензента, її треба виконати повторно з урахуванням зауважень. Виправлення і доповнення слід виконувати у кінці роботи з посиланням на сторінку.

Контрольна робота повинна бути виконана і здана викладачеві на рецензію в термін, вказаний у навчальному графіку, але не пізніше 10 днів до заліково-екзаменаційної сесії.

Далі подається зміст контрольних задач та приклади їх розв’язання.

ЗАДАЧА №1.

Унаслідок надлишку фінансових ресурсів компанії необхідно інвестувати деяку суму грошей на п'ять років. Причому в силу ряду причин в інвестора є тільки два варіанти для цього: розмістити цю суму на депозитах відразу на весь чи термін спершу на чотири роки, а потім на один рік. Нехай рівні ставок випливають нормальної кривої прибутковості: по чотирирічних депозитах — 12,5%, по п'ятилітнім — 15% складних річним. Розмір ставки для депозиту на один рік (тобто на п'ятий рік) у момент ухвалення рішення невідомий. Який варіант розміщення засобів повинний вибрати інвестор?

Рішення.

Рішення даної задачі повинне ґрунтуватися на застосуванні кривої прибутковості.

Крива прибутковості характеризує зміну прибутковості однорідних кредитно-позичкових чи операцій фінансових інструментів (наприклад, довгострокових облігацій, акцій компаній і т.д.) у залежності від їхнього терміну. Конкретна крива прибутковості відповідає реальної ситуації, що склалася на грошово-кредитному ринку, і характерна для короткого тимчасового періоду. Зміна ситуації змінює форму кривої і її положення на графіку.

Для нормальних економічних умов крива прибутковості є висхідної, тобто прибутковість росте в міру збільшення терміну інвестицій. Причому кожна наступна одиниця приросту терміну дає все менше збільшення прибутковості. Таку криву називають позитивної, чи нормальної, кривої прибутковості. Нормальна форма кривої (не слід плутати з кривої нормального розподілу, використовуваної в статистику) спостерігається в умовах, коли інвестори у своїй масі враховують такі фактори, як скорочення ступеня ліквідності і ріст невизначеності фінансових результатів при збільшенні терміну.

Повертаючи до рішення задачі ставати очевидним, що при виборі другого варіанта інвестор повинний мати результат не гірше, ніж при першому варіанті. Задача, отже, зводиться до визначення того значення ставки для четвертого року, при якому обидва варіанти будуть рівноцінними (еквівалентними) у фінансовому відношенні. Назвемо таку ставку критичної, чи бар'єрної (break-even point).

Позначимо як і₄ і і₅ рівні процентних ставок для депозитів на чотири і п'ять років, а через і₀ — невідому критичну ставку для річного депозиту. У силу фінансової еквівалентності результатів приміщення засобів множники нарощення для обох варіантів повинні бути рівними один одному. Звідси

(1 + і₄/100)⁴  (1 + і₀/100) = (1 + і₅/100)⁵

і, отже,

і₀ = (1 + і₅/100)⁵/(1 + і₄/100)⁴ – 1.

За даними приклада знаходимо критичну ставку

і₀ = (1 + 15/100)⁵/(1 + 12,5/100)⁴ – 1 = 0,25568 чи 25,568%.

Таким чином, для того щоб інвестор зупинився на другому варіанті, він повинний очікувати, що через чотири роки ставка по однорічних депозитах буде не менш 25,568 %, тобто рівень ставок підвищиться. Відповідно, якщо він очікує, що ставка не досягне цього рівня, варто вибрати перший варіант.

ЗАДАЧА №2.

Компанія повинна передбачити погашення трьох негайних річних рент постнумерандно шляхом заміни на єдині еквівалентні зобов'язання. Характеристики замінних рент: R = 200; 500; 100, терміни цих рент — 7, 10 і 5 років відповідно. Ставка складних відсотків — 15%. Визначити ренту, що заміняє, постнумерандно відкладену на два роки, що має термін n = 12 років, включаючи відстрочку. Знайти термін ренти, що заміняє, якщо сума річного платежу дорівнює 1500.

Рішення.

1) Потік платежів, усі члени якого позитивні величини, а тимчасові інтервали між платежами однакові, називають фінансовою рентою, чи просто рентою, а іноді аннуітетом незалежно від чи призначення походження платежів.

Сучасна вартість постійної ренти постнумерандно (рента, платежі по який здійснюються наприкінці періодів) А визначається по формулі:

А = R  a_n;i ,

де R — елемент потоку платежів; a_n;i — коефіцієнт приведення ренти, що характеризується терміном (часом від початку першого періоду ренти до кінця останнього періоду) n і процентною ставкою i, і, розраховується по формулі (1 – (1 + i/100)^-n)/i.

Тоді, сума сучасного кошторису даних рент складе 3676,684 (див. табл.).

Рента q	Rq	nq	i	anq;15	Rqanq;15
1	200	7	15	4,16042	832,084
2	500	10	15	5,01877	2509,384
3	100	5	15	3,35216	335,216
Разом:	800				3676,684

Сучасна вартість відкладеної ренти, початок виплат по який зрушено вперед на час знаходиться по формулі:

_tА = R  a_n;i  ^t,

де ^t — дисконтний множник по ставці i, що дозволяє привести потік майбутніх платежів протягом терміну n до дійсного моменту й обумовлений по формулі (1 + i/100)^-n.

Звідси, розмір члена ренти, що заміняє, дорівнює (параметри коефіцієнта приведення ренти відповідають терміну здійснення рентних платежів за винятком періоду відстрочки):

R = 3676,684 / (a_10;15  ν^-2) = 3676,684 / (5,01877  (1 + 15/100)^-2) = 968,846.

2) Термін платежів по відкладеній ренті постнумерандно можна знайти, ґрунтуючись на сучасній вартості негайної ренти (рента по який платежі здійснюються з моменту її виникнення, початку терміну), розмір якого знаходиться по формулі

А_N = _tА  q^t,

де q^t — множник нарощення по складних відсотках по ставці i, що дозволяє одержати майбутню вартість ренти через період n і визначається по формулі (1 + i/100)ⁿ.

Підставивши дану формулу у вираження необхідне для визначення терміну платежів

n = ln (1 – A_N /R  i/100)^-1/ ln (1 + i/100);

одержимо

n = ln (1 – 3676,684  (1 + 15/100)^2/ 1500  15/100)^-1/ ln (1 + 15/100) = 4,765 роки.

ЗАДАЧА №3.

Компанія формує фонд погашення боргу, засобу в який надходять у виді щорічної ренти постнумерандно протягом п'яти років (термін погашення боргу). Платежі щораз збільшуються на 8 тис. грн. Нехай розмір боргу на момент його погашення дорівнює 150 тис. грн., на внески нараховуються відсотки по ставці 15% річних, за умовами позики кредитору виплачується 12,5%. Скласти план формування погашувального фонду.

Рішення.

Попередньо знаходимо коефіцієнт приведення ренти приймаючи в увагу формулу майбутньої вартості річної ренти:

S = R  s_n;i ,

де R — елемент потоку платежів; s_n;i — коефіцієнт приведення ренти, що характеризується терміном (часом від початку першого періоду ренти до кінця останнього періоду) n і процентною ставкою i, і, розраховується по формулі ((1 + i/100)ⁿ –1)/i.

Тоді s_5;15 = ((1 + 15/100)⁵ –1)/(15/100) = 6,74238.

Для розробки плану створення фонду визначимо величину першого внеску за допомогою формули:

R = 1/s_n;i  [D – a  ((1 + i/100)ⁿ – (1 + n  i/100))/(i/100)²].

де D — розмір боргу на момент його погашення (загальна сума боргу); a — розмір збільшення прогресії.

R = 1/6,74238  [150000 – 8000  ((1 + 15/100)⁵ – (1 + 5  15/100))/(15/100)²] = 8464,81 грн.

Звідси, на кожнім етапі погашення, що дорівнює року, знайдемо суму щорічних внесків по формулі

R_t = 8464,81 + 8000  (t – 1),

де t — порядковий номер тимчасового інтервалу в межах терміну погашення боргу, t = 1, 2, ..., 5.

Динаміка витрат боржника за умови, що за умовами позики кредитору виплачується 12,5%, показана в таблиці, при цьому в останній графі показані сумарні нагромадження, що визначені по рекуррентной формулі:

S_t+1 = S_t  (1 + i/100) + R .

Рік	Відсотки	Внески	Витрати по позиці	Нагромадження на кінець року
1	18750	8464,8	27214,8	8464,81
2	18750	16464,8	35214,8	26199,35
3	18750	24464,8	43214,8	54594,06
4	18750	32464,8	51214,8	952477,99
5	18750	40464,8	59214,8	150000,00