28. Тест Дарбина-Уотсона

Существуют два наиболее распространенных метода опреде­ления автокорреляции остатков. Первый метод — это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод — использование критерия Дарбина — Уотсона.

Автокорреляция - корреляционная связь между значениями одного и того же случайного процесса X(t) в моменты времени t₁ и t₂.

Тест Дарбина–Уотсона, основанный на предположении, что если имеется автокорреляция возмущений, то она присутствует и во временном ряду остатков регрессии. Тест основан на расчете d‑статистики.

Таким образом, d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадра­тов по модели регрессии.

Рассмотрим интервал от 0 до de (маленький график в лекции)

0<DW<de – положительная автокорреляция

de<DW<du – вывод о наличии автокорреляции неопределен

du< DW<4-du – автокорреляция отсутствует

4-du<DW<4-de – вывод о наличии автокорреляции неопределен

4-de<DW<4 отрицательная автокорреляция

Ограничения при использовании автокорреляции:

1. Критерий DW применяется по отношению к моделям, где обязательно присутствует свободный член уравнения.

2. Статистические данные должны иметь одинаковую периодичность ( не д.б. пропусков)

3. Критерий DW не применим для моделей в составе которых есть объясняющая переменная с лагом в один шаг. Лаг – задержка во времени.

4. Предполагается что случайное отклонение опред-ся по шаговой схеме.

5. Критерий DW предназначен для работы с детерминированными (неслучайными) регрессорами (экзогенными переменными).

тест содержит несколько шагов:

1 – Оценить исходную регрессию, и получить оценки остатков.

2 – Посчитать - статистику Дарбина-Уотсона

3 – Для заданных количества параметров, размера выборки и уровня значимости

определяем верхнее и нижнее d значение (dU и dL).

4 – Проверяем следующие четыре гипотезы:

H0+: положительная AC; H1+: неположительная AC;

H0-: отрицательная AC; H1-: неотрицательная AC;

- причём все четыре гипотезы являются основными и «равноправными».

Одна из проблем с этим тестом возникает именно здесь, при проверке гипотез об автокорреляции, поскольку в области определения этой статистики (от нуля до четырех) находятся две области неопределённости, введённые Дарбином и Уотсоном, относительно знака и наличия AC. Эти области неопределённости не позволяют делать каких-либо определённых выводов. Распределение этой статистики асимптотически симметрично относительно числа 2, поэтому в таблицах этого распределения указаны только верхние и нижние границы областей неопределённости меньшие 2 (то есть для гипотез H0 + и H1+).

У теста Durbin-Watson есть следующие ограничения, которые иногда забываются:

1) Обязательное наличие свободного члена в спецификации модели. Если не выполняется это условие, то необходимо использовать таблицы Farebrother теста (в общем случае dL будут просто ниже тех, которые в таблицах DW, аdU не изменятся – то есть расширится область неопределённости)

2) Не стохастичные регрессоры.

3) В остатках присутствует схема AR порядка не выше 1. Наличие проблем в этом пункте выявляется общим тестом Бройша-Годфри. Или путём использования некоей другой статистики.

4) Должны отсутствовать лаговые зависимые переменные. В этом пункте, в случае его нарушения, нам может помочь Durbin’s h Test.

5) Выборочные данные должны обладать регулярностью (данные не выпадают).

6) Ошибки должны быть нормально распределёнными случайными величинами.