3.4. Электромагнитная индукция

• Основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея-Максвелла):

,

где - электродвижущая сила индукции; N - число витков контура;  – потокосцепление.

• Частные случаи применения основного закона электромагнитной индукции:

а) разность потенциалов U на концах проводника длиной l, движущегося со скоростью v в однородном магнитном поле,

,

где  - угол между направлениями векторов скорости v и магнитной индукции В;

б) электродвижущая сила индукции , возникающая в рамке площадью S, содержащей N витков, при вращении рамки с угловой скоростью  в однородном магнитном поле с индукцией

,

где t - мгновенное значение угла между вектором и вектором нормали к плоскости рамки.

• Количество электричества Q, протекающего в контуре,

,

где R - сопротивление контура; - изменение потокосцепления.

• Электродвижущая сила самоиндукции , возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нем,

,

где L - индуктивность контура.

• Потокосцепление контура

,

где L - индуктивность контура.

• Индуктивность соленоида (тороида)

,

где – количество витков на единицу длины соленоида, V – объем соленоида.

• Энергия магнитного поля, создаваемого током I в замкнутом контуре индуктивностью L,

.

• Объемная плотность энергии однородного магнитного поля (например, поля длинного соленоида)

Примеры решения задач

Пример 3.1. Расстояние l между двумя точечными зарядами Q₁ = 2 нКл и Q₂ = –3 нКл, расположенными в вакууме, равно 20 см. Определить: 1) напряженность Е; 2) потенциал φ поля, создаваемого этими зарядами в точке, удаленной от первого заряда на расстояние r₁ = 15 см и от второго заряда на r₂ = 10 см.

Р ешение: Напряженность поля, создаваемого зарядами, находится по принципу суперпозиции. Результирующая напряженность Е равна векторной сумме напряженности полей, создаваемых каждым зарядом в данной точке поля:

Е = Е₁ + Е₂.

Модули напряженностей электрических полей, создаваемых отдельными точечными зарядами,

, . (1)

Чтобы найти модуль напряженности результирующего поля в заданной точке А, надо сначала построить векторы напряженности. Так как заряд Q₁ положительный, вектор Е₁ направлен от точки А в сторону от заряда Q₁, создающего поле. Так как заряд Q₂ отрицательный, вектор Е₂ направлен от точки А к заряду Q₂, создающему поле (направления векторов показаны на рис. 3.2).

Модуль вектора Е находится по теореме косинусов:

, (2)

где

(3)

Подставив (1) и (3) в формулу (2), найдем искомую напряженность в точке А:

Согласно принципу суперпозиции потенциал результирующего поля

φ = φ₁ + φ₂,

где , – соответственно потенциалы полей, создаваемых зарядами Q₁ и Q₂. Подставляя, найдем

Подставив числовые значения, получим

1) Е = 3 кВ/м; 2) φ = – 150 В.

Пример 3.2. Электроемкость плоского воздушного конденсатора С = 1 нФ, расстояние между обкладками d = 4 мм. На помещенный между обкладками конденсатора заряд Q₀ = 4,9 нКл действует сила F₀ = 98 мкН. Площадь S каждой обкладки равна 100 см². Определить: 1) напряженность E поля; 2) разность потенциалов U между обкладками; 3) энергию W поля и объемную плотность энергии w конденсатора; 4) силу F, с которой притягиваются пластины конденсатора.

Решение: Поле между обкладками конденсатора считаем однородным. Напряженность поля конденсатора определяется из выражения E = F₀/Q₀.

Разность потенциалов между обкладками U = Ed = F₀d/Q₀.

Энергия поля конденсатора

.

Объемная плотность энергии

,

Чтобы определить силу притяжения между пластинами конденсатора, рассуждаем следующим образом. Заряд Q одной пластины находится в поле, созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила F = QE_пласт. Эта сила и будет искомой силой притяжения. Так как поле, создаваемое одной заряженной пластиной

,

где σ = Q/S – поверхностная плотность заряда пластины, то

.

Формула силы специально записана так, чтобы можно было ввести напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями (поле плоского конденсатора)

Тогда выражение для силы притяжения пластин конденсатора примет вид

Подставив числовые значения, найдем:

Е = 20 кВ/м; U = 80 В; W = 70,8 нДж; w = 1,77 мДж/м³; F_прит = 17,7 мкН.

П ример 3.3. Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной нитью (рис.3.3) с постоянной линейной плотностью заряда τ = 1 нКл/м. Какую скорость приобретет электрон, приблизившись под действием поля к нити вдоль линии напряженности с расстояния r₁ = 1,5 см до r₂ = 1 см? Начальная скорость электрона равна нулю.

Решение. Приращение кинетической энергии электрона равно работе сил электрического поля

T₂ – T₁ = = A = e(φ₁ – φ₂),

где T₁ и T₂ – кинетическая энергия электрона до и после прохождения ускоряющего поля, v₁ и v₂ – начальная и конечная скорости электрона, е – заряд, m – масса электрона, φ₁ и φ₂ – потенциалы начальной и конечной точек пути.

Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала, которое в случае осевой симметрии поля нити имеет вид:

или dφ = – Edr.

Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояния r₁ и r₂ от нити:

Подставив сюда выражение для напряженности поля, создаваемого бесконечно длинной нитью (E = τ/(2πε₀r)), получим

,

или

Учитывая, что v₁ = 0 и Т₁ = 0, получим

и .

Подставив числовые значения, найдем v = 1,6 Мм/с.

Пример 3.4. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 10 Ом равномерно нарастает за время Δt = 4 с от I₀ = 0 до I_max = 8 А. Определить количество теплоты, выделившееся в проводнике за первые t₁= 3 с.

Решение. Закон Джоуля–Ленца в виде Q = I²Rt справедлив для постоянного тока. Если же сила тока в проводнике изменяется, то этот закон справедлив для бесконечно малого интервала времени

. (1)

По условию задачи сила тока равномерно растет, тогда закон изменения тока можно записать в виде I = kt, где k – коэффициент пропорциональности, численно равный приращению тока в единицу времени:

.

Следовательно,

. (2)

Для определения теплоты, выделившейся за конечный промежуток времени, выражение (2) надо проинтегрировать. За первые t₁ секунд выделится количество теплоты

Подставляя числовые значения, получим Q = 360 Дж.

Пример 3.5. Батарея состоит из n = 5 последовательно соединенных элементов. ЭДС каждого ε = 1,4 В, внутреннее сопротивление каждого r_i = 0,3 Ом. При каком токе полезная мощность батареи равна P_п = 8 Вт? Определить также наибольшую полезную мощность (Р_п) _max батареи:

Решение: Полезной мощностью батареи считают ту, которая выделяется во внешней цепи

(1)

где R – сопротивление внешней цепи, I – сила тока, текущего в цепи, которая определяется по закону Ома для замкнутой цепи

. (2)

Здесь nε – ЭДС, а пr_i – внутреннее сопротивление n последовательно соединенных элементов.

Решим первую часть задачи. Выразим R из (1) и подставим это выражение в (2), получим

. (4)

Преобразуя выражение (4), получим квадратное уравнение относительно тока I:

.

Решая квадратное уравнение, найдем

.

Подставляя числовые значения, получим два корня. Оба корня положительные и имеют физический смысл: I₁ = 2,66 А и I₂ = 2 А.

Чтобы теперь определить наибольшую полезную мощность батареи, установим зависимость мощности от внешнего сопротивления. Подставим в уравнение (1) выражение (2):

. (5)

Из этой формулы следует, что при данном источнике (постоянные величины ε и ) мощность является функцией одной переменной – внешнего сопротивления R. Значение R, соответствующее максимальной мощности, мы получим, дифференцируя выражение Р_п по R и приравнивая первую производную нулю, , следовательно, имеем

откуда, учитывая, что R и r_i всегда положительны, получаем

, или R = nr_i (6)

Мощность, выделяемая во внешней цепи, достигает наибольшего значения, если сопротивление внешней цепи равно внутреннему сопротивлению источника. Подставляя найденные значения R в формулу (5), имеем

.

Производя вычисления, найдем Р_{п max} = 8,16 Вт.

Пример 3.6. Для параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут в одном направлении токи I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию В в точке, отстоящей от одного проводника на расстояние r₁ = 5 см и от другого на расстояние r₂ = 12 см.

Р ешение. Для нахождения магнитной индукции в указанной точке А (рис. 3.4) определим направления векторов индукции и полей, создаваемых каждым проводником в отдельности, и, согласно принципу суперпозиции, сложим их векторно, т.е.В = В₁ +В₂. Модуль вектора В найдем по теореме косинусов:

. (1)

Модули и : , . Подставляя эти выражения в формулу (1), найдем искомое В:

. (2)

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу магнитной индукции (Тл):

.

Здесь мы воспользовались определяющей формулой для магнитной индукции B = M_max/p_m. Из нее следует, что:

.

Вычисляем cos. Заметим, что , как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Поэтому по теореме косинусов запишем . Подставив данные, вычислим значение косинуса: cos  = 0,576. Подставив в формулу (2) значения ₀, I, r₁, r₂ и cos , найдем В=286 мкТл.

Пример 3.7. Электрон, имея скорость v = 2 Мм/с, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 30 мТл под углом  = 30° к направлению линий индукции. Определить радиус r и шаг h винтовой линии, по которой будет двигаться электрон.

Р ешение. Известно, что на заряженную частицу, влетевшую в магнитное поле, действует сила Лоренца, перпендикулярная векторам магнитной индукции и скорости частицы. Модуль этой силы

F = QvB sin α, (1)

где Q – заряд частицы (Q = ׀е׀), α – угол между v и В.

Разложим, как это показано на рис. 3.5, cкорость v электрона на две составляющие: параллельную вектору В (v_׀׀) и перпендикулярную ему (v_). Скорость v_׀׀ в магнитном поле не изменяется – если заряженная частица движется в магнитном поле вдоль линий магнитной индукции, то угол α между векторами v и В равен 0 или π. Тогда по формуле (1) сила Лоренца равна нулю и частица движется равномерно и прямолинейно.

Скорость v_ в результате действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению (F_Л v) (в отсутствие параллельной составляющей движение электрона происходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной силовым линиям). Таким образом, движение электрона можно представить как наложение двух движений: 1) равномерного прямолинейного движения вдоль поля со скоростью v_׀׀ = v cosα; 2) равномерного движения со скоростью v_ = v sinα по окружности. Поэтому траектория электрона – спираль (винтовая линия), ось которой параллельна магнитному полю.

Радиус окружности, по которой движется электрон, найдем следующим образом. Сила Лоренца F сообщает электрону нормальное ускорение . Тогда по второму закону Ньютона

,

откуда после сокращения находим радиус винтовой линии

.

Подставив значения величин m, v, е, В и  и произведя вычисления, получим r = 0,19 мм.

Шаг винтовой линии равен пути, пройденному электроном вдоль поля со скоростью за время, которое понадобится электрону для того, чтобы совершить один оборот,

, (2)

где – период обращения электрона. Подставив выражение для r и v_, получим

.

Подставив значения величин, получим h = 2,06 мм.

П ример 3.8.. Магнитная индукция поля между полюсами магнита генератора равна В = 0,8 Тл. Ротор имеет N = 100 витков площадью S = 400 см². Определить частоту вращения якоря, если максимальная ЭДС индукции равна ξ_i,max = 200 В.

Решение. Угол между вектором индукци магнитного поля и нормалью к плоскости витков изменяется по закону α = 2πνt.

Полный магнитный поток (потокосцепление) через катушку равен

Ψ = NBS cos α = NBS cos2πνt.

Мгновенное значение ЭДС индукции ξ_i, определяется законом Фарадея

.

Максимальное значение синуса равно единице, следовательно, максимальное значение ЭДС индукции равно

,

откуда

.

Пример 3.9. Соленоид без сердечника с однослойной обмоткой из проволоки диаметром d = 0,4 мм имеет длину l = 0,5 ми поперечное сечение S = 60 см². За какое время при напряжении U = 10 В и силе тока I = 1,5 А в обмотке выделится количество теплоты, равное энергии поля внутри соленоида. Поле считать однородным.

Решение. При прохождении тока I при напряжении U в обмотке за время t выделяется теплота

Q = IUt. (1)

Энергия поля внутри соленоида

, (2)

где B = μ₀μNI/l (N– общее число витков соленоида). Если витки соленоида вплотную прилегают друг к другу, то l = Nd, откуда N= l/d . Подставив выражения для B и N в (2), получаем

. (3)

Согласно условию задачи Q = W . Приравняв выражения (1) и (3) , найдем искомое время

.

Вычисляя, получаем t = 1,77 мс.