1.2. Кинематика вращательного движения

 Средняя и мгновенная угловые скорости

, ,

где φ – угол поворота радиус-вектора материальной точки.

 Угловое ускорение

Угловая скорость для равномерного вращения

где T – период вращения, n – частота вращения (n = N/t, где N – число оборотов, совершаемых телом за время t).

Угол поворота и угловая скорость для равнопеременного вращательного движения

; .

• Связь между линейными и угловыми величинами:

s = Rφ,

1.3. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

• Импульс материальной точки

.

• Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки)

F = ma = ,

где F – результирующая сила, действующая на материальную точку.

• Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила тяжести

;

б) сила гравитационного взаимодействия (закон всемирного тяготения)

,

где F – сила взаимного притяжения двух материальных точек массами m₁ и m₂; G – гравитационная постоянная; r – расстояние между точками.

в) сила упругости (закон Гука для продольного растяжения или сжатия)

F_x = –kx, или σ = εЕ,

где F_x – проекция упругой силы на ось х, k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость), х– деформация; σ = F_упр /S– нормальное напряжение, S – площадь поперечного сечения, ε = x/l – относительная деформация, l – начальная длина тела, Е – модуль Юнга.

г) сила трения скольжения

F_тр = N,

где  – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.

• Закон сохранения импульса для замкнутой системы тел

.

• Работа, совершаемая постоянной силой,

dA = F_sds = F ds cosα,

где α – угол между направлением силы и перемещения.

• Работа переменной силы на пути s

.

• Мгновенная мощность

.

• Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,

, или .

• Потенциальная энергия:

а) упруго деформированной пружины

,

б) гравитационного взаимодействия двух материальных точек

,

в) тела, поднятого над поверхностью Земли на высоту h

,

где g – ускорение свободного падения (формула справедлива при условии h<<R, где R – радиус Земли).

• Закон сохранения механической энергии (выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы)

.

• Работа A результирующей всех сил равна приращению кинетической энергии материальной точки:

.

• Работа A консервативных сил равна убыли потенциальной энергии материальной точки:

.

1.4. Динамика вращения вокруг неподвижной оси

• Момент инерции материальной точки относительно оси Оz

J_z = mr²,

где m – масса материальной точки, r – расстояние от нее до оси Оz.

• Момент инерции твердого тела относительно оси Оz

где r_i – расстояние i-го элемента массы m_i до оси Оz.. В случае непрерывного распределения масс

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

Тело	Ось, относительно которой определяется момент инерции	Момент инерции
Однородный тонкий стержень массой m и длиной l	Проходит через центр масс стержня перпендикулярно стержню
	Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню
Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой m	Ось симметрии
Круглый однородный диск, цилиндр радиусом R и массой m	То же
Однородный шар радиусом R и массой m	Проходит через центр шара

 Момент инерции тела относительно произвольной оси (теорема Штейнера)

,

где – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно заданной оси; а – расстояние между осями; т – масса тела.

• Момент силы относительно оси вращения Oz

M_z = F_┴ l,

где F_┴ – проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси Oz, l – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

• Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения Oz

,

где J_z – момент инерции относительно оси вращения, ω – угловая скорость.

• Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z

, или

где М_z – результирующий момент относительно оси Оz внешних сил, действующих на тело; ε – угловое ускорение; J_z – момент инерции твердого тела относительно оси вращения.

• Если М_z = 0 (система замкнута), то имеет место закон сохранения момента импульса относительно оси Оz

.

• Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

.

• Работа при вращательном движении

,

где – угол поворота тела.

• Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости

,

где v_c – скорость центра масс, J_c – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.