Примеры решения задач

Пример 6.1. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) U₁ = 51 B; 2) U₂ = 0,51 МВ.

Решение. Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой

, (1)

где h = 6,63∙10 ^–34 Дж∙с – постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя, Т << E₀) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частиц, T ≈ E₀):

в нерелятивистском случае

(2)

где – масса покоя частицы.

в релятивистском случае

(3)

где – энергия покоя частицы.

Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется:

в нерелятивистском случае

(4)

в релятивистском случае

. (5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U₁ = 51 B и U₂ = 0,51 МВ с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U

T = |e|U.

В первом случае T₁ = 51 эВ = 0,51∙10 ^–4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Е₀ = m₀c² = 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Вычисляя, получаем λ₁ = 171 пм.

Во втором случае кинетическая энергия T₂ = 0,51 МэВ равна энергии покоя электрона. В этом случае имеем дело с релятивистской частицей, необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учитывая, что , по формуле (5) находим

или, учитывая, что h/m₀c = 2,43 пм есть комптоновская длина волны электрона, получим λ₂ = 1,4 пм.

Пример 6.2. Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга, показать, что ядра атомов не могут содержать электронов. Считать радиус ядра равным 10 ^–15 м.

Решение. Соотношение неопределенностей Гейзенберга выражается формулой

,

где: Δх – неопределенность координаты; Δр_х – неопределенность импульса; h – постоянная Планка.

Если неопределенность координаты принять равной радиусу ядра, т.е.

Δх = R_я, то неопределенность импульса электрона выразим следующим образом: Δр_х = h/(2π Δх).

Так как , то и . Вычислим неопределенность скорости электрона:

Сравнивая полученное значение Δv_x со скоростью света в вакууме c = 3∙10⁸ м/с, видим, что , а это невозможно, следовательно, ядра не могут содержать электронов.

Пример 6.3. Электрон в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l = 200 пм с бесконечно высокими «стенками» находится в возбужденном состоянии (n = 4). Определить 1) минимальную энергию электрона; 2) вероятность W обнаружения электрона в первой четверти ямы.

Решение. Собственные значения энергии электрона, находящегося на

n-м энергетическом уровне в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»

,

где m = 9,11∙10 ^–31 кг – масса электрона, = 1,05∙10^–34 Дж∙с – постоянная Планка. Минимальную энергию электрон имеет при минимальном n, т.е. при n = 1:

.

Вероятность обнаружить частицу в интервале х₁ < х < х₂

, (1)

где – нормированная собственная волновая функция, соответствующая данному состоянию.

В озбужденному состоянию n = 4 отвечает собственная функция

. (2)

Согласно условию задачи (рис. 6.1 ) x₁ = 0 и x₂ = l/4. Поэтому, подставив (2) в (1), получим

.

Заменив sin²(4πx/l) = ½(1 – cos 8πx/l), запишем

Вычисляя, получим: 1) E_min = 1,5∙10^–18 Дж = 9,37 эВ; 2) W = 0,25.

Пример 6.4. Удельная проводимость кремниевого образца при нагревании от температуры t₁ = 0C до температуры t₂ = 18C увеличилась в 4,24 раза. Определить ширину запрещенной зоны кремния.

Решение. Удельная проводимость собственных полупроводников

,

где ₀ – постоянная, характерная для данного полупроводника, Е – ширина запрещенной зоны.

Тогда

.

Или, прологарифмировав,

.

Откуда искомая ширина запрещенной зоны

.

Вычисляя, получаем Е = 1,1 эВ.

Пример 6.5. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра .

Решение. Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра и есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т.е.

(1)

где Z – атомный номер (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов, составляющих ядро); – соответственно массы протона, нейтрона и ядра.

В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому целесообразно пользоваться преобразованной формулой, в которую входит масса нейтрального атома:

откуда .

Выразив в равенстве (1) массу ядра, получим или . Замечая, что , где - масса атома водорода, окончательно находим

Подставив числовые значения масс, получим

.

В соответствии с законом пропорциональности массы и энергии где с – скорость света в вакууме. Коэффициент пропорциональности может быть выражен двояко: или Если вычислять энергию связи, пользуясь внесистемными единицами, то . С учетом этого

(2)

Подставив найденное значение дефекта массы ядра в формулу (2), получим

.

Пример 6.6. Первоначальная масса радиоактивного изотопа радона

²²²₈₆ Rn (период полураспада Т_1/2 = 3,82 сут) равна 1,5 г. Определить: 1) начальную активность изотопа; 2) его активность через 5 сут.

Решение. Начальная активность изотопа

A₀ = N₀ ,

где  = (ln2)/T_1/2 – постоянная радиоактивного распада; N₀ – число ядер изотопа в начальный момент времени: N₀ = m₀N_A/M , M – молярная масса радона (M = 22210^–3кг/моль), N_A = 6,0210²³ моль^–1 – постоянная Авогадро.

Учитывая эти выражения, найдем искомую активность изотопа:

.

Активность изотопа А = N, где, согласно закону радиоактивного распада, – число нераспавшихся ядер в момент времени t. Учитывая, что А₀ = N₀, найдем, что активность нуклида уменьшается со временем по закону

.

Вычисляя, получаем: 1) А₀ = 8,5410¹⁵ Бк; 2) А = 3,4510¹⁵ Бк.