6. Элементы квантовой физики атомов, физики твёрдого тела и атомного ядра Основные законы и формулы

6.1. Элементы квантовой механики

● Длина дебройлевской волны частицы с импульсом р

где m –масса частицы, v – ее скорость.

● Импульс частицы и его связь с кинетической энергией:

а) в классическом приближении (v<<c) ; ,

б) в релятивистском случае ; ,

где – масса покоя частицы; – релятивистская масса; – скорость частицы; – скорость света в вакууме; – энергия покоя частицы

● Соотношение неопределенностей:

а) , (для координаты и импульса);

где – неопределенности проекции импульса на ось х; Δx – неопределенность координаты, – постоянная Планка.

б) , (для энергии и времени),

где – неопределенность энергии данного квантового состояния; – время пребывания системы в данном энергетическом состоянии.

● Вероятность нахождения частицы в объеме dV

dW =  y^ dV = y² dV,

где y = y (x,y,z) – координатная часть волновой функции, y^ – функция, комплексно сопряженная с y, y² = y y^ – квадрат модуля волновой функции.

• Вероятность обнаружения частицы в интервале от х₁ до х₂:

.

• Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний:

,

где – волновая функция, описывающая состояние частицы; m – масса частицы; E – полная энергия; – потенциальная энергия частицы.

• Решение уравнения Шредингера для одномерной, бесконечно глубокой, прямоугольной потенциальной ямы:

а) (собственная нормированная волновая функция);

б) (собственное значение энергии частицы ),

где n – квантовое число, номер энергетического уровня, n = 1, 2, 3, …; l – ширина потенциальной ямы.

• Коэффициент прозрачности D прямоугольного потенциального барьера конечной ширины l

.

6.2. Элементы квантовой статистики и физики твердого тела

• Распределение Ферми-Дирака по энергиям для свободных электронов в металле

,

где <N(E)> – среднее число электронов в квантовом состоянии с энергией Е; k – постоянная Больцмана; T– термодинамическая температура, E_F – энергия Ферми.

При Т = 0 К

.

• Характеристическая температура Дебая (при T << T_D)

,

где _D – предельная частота упругих колебаний кристаллической решетки.

• Удельная проводимость собственных полупроводников

,

где ₀ – постоянная, характерная для данного полупроводника, Е – ширина запрещенной зоны.

6.3. Элементы физики атомного ядра

• Массовое число ядра (число нуклонов в ядре):

,

где – зарядовое число (число протонов); – число нейтронов.

• Энергия связи нуклонов в ядре

E_св = Zm_p + (A – Z) m_n – m_я c² = Zm_H + (A – Z)m_n – m_аc²,

где m_p, m_n, m_я, – соответственно массы протона, нейтрона и ядра; Z – зарядовое число ядра (число протонов в ядре); А – массовое число; m_H – масса атома водорода; m_а – масса атома.

• Число ядер, распавшихся в среднем за промежуток времени от t до t + dt

.

• Закон радиоактивного распада:

,

где – число ядер, распадающихся за интервал времени ; – число ядер, не распавшихся к моменту времени ; – число ядер в начальный момент ; – постоянная радиоактивного распада.

• Число ядер, распавшихся за время :

.

В случае если промежуток времени , за который определяется число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада , то число распавшихся ядер можно определить по формуле

.

• Связь периода полураспада с постоянной радиоактивного распада:

.

• Среднее время  жизни радиоактивного ядра, т. е. интервал времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в раз:

.

• Число N атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе:

,

где – масса изотопа; – молярная масса; – постоянная Авогадро.

• Активность нуклида

.

• Правила смещения:

для  -распада ,

для  ^– -распада .