Кинематика плоского движения тела.

1. Уравнения плоского движения тела имеют вид:

x = x(t), y = y(t), .

2. Кинематическими характеристиками плоского движения тела являются вектора скорости и ускорения полюса (точки A), лежащие в плоскости фигуры S, и вектора угловой скорости и углового ускорения , направленные перпендикулярно плоскости фигуры S (рис. 25).

3. Скорость и ускорение любой точки плоской фигуры S можно определять соответственно из (24) и (28).

Рис. 37.

4. Картина распределения скоростей и ускорений по точкам плоской фигуры S представлена на рис. 37. Вектора скоростей и ускорений всех точек тела лежат в плоскости фигуры S. Вектора скоростей направлены перпендикулярно прямым линиям, соединяющим эти точки с МЦС (точкой P на рис. 37). Вектора ускорений всех точек фигуры S составляют с прямыми линиями, соединяющими эти точки с МЦУ (точкой Q на рис. 37), угол : Чем дальше точка от МЦС, тем больше величина её скорости. Чем дальше точка от МЦУ, тем больше величина её ускорения.

Касательное и нормальное ускорение точек плоской фигуры.

Рис. 38.

Если известно положение МЦС плоской фигуры S, то вектор скорости любой точки направлен перпендикулярно прямой линии, соединяющей эту точку с МЦС (рис. 38).

Если известно положение МЦУ плоской фигуры S, то вектор ускорения любой точки составляет с прямой линией, соединяющей эту точку с МЦУ, угол  (рис. 38).

Вектор ускорения точки фигуры S можно разложить на две составляющие: вращательное ускорение и осестремительное ускорение вокруг МЦУ (рис. 38).

С другой стороны вектор полного ускорения точки фигуры S является суммой касательного ускорения и нормального ускорения точки.

Вектор касательного ускорения направлен по касательной к траектории движущейся точки, то есть, по направлению вектора скорости точки (рис. 38) и перпендикулярен вектору нормального ускорения.

Для произвольно выбранной точки плоской фигуры S вращательное и осестремительное ускорение в общем случае не совпадают с касательным и нормальным ускорением точки.

Касательное ускорение любой точки фигуры S совпадает с вращательным вокруг МЦУ ускорением, а нормальное – с осестремительным вокруг МЦУ, если в какой-то момент времени положение МЦС и МЦУ совпадают.

Такая же картина наблюдается и при вращательном движении тела (рис. 22).

Сферическое движение тела. Углы Эйлера. Уравнения сферического движения тела.

Рис. 39.

Через неподвижную точку тела O проведем неподвижную прямоугольную декартовую систему координат Ox₁y₁z₁, относительно которой будем рассматривать движение тела (рис. 39). Другую систему координат Oxyz скрепим с телом.

Линия OK пересечения координатных плоскостей Ox₁y₁ и Oxy называется линией узлов.

Для определения положения тела относительно неподвижной системы координат используются углы Эйлера.

Угол  между линией узлов OK и подвижной осью Ox называется углом собственного вращения. При изменении угла  тело вращается вокруг так называемой оси собственного вращения Oz.

Угол  между неподвижной осью и линией узлов называется углом прецессии. Для изменения угла  тело должно вращаться вокруг оси Oz₁, которую называют осью прецессии.

Угол  между осями Oz и Oz₁ называется углом нутации, а ось OK, вокруг которой вращается тело при изменении угла , называется осью нутации или линией узлов.

Для определения положения тела с одной неподвижной точкой в любой момент времени достаточно задать углы Эйлера, как функции времени:

,  =  (t),  =  (t). (30)

Эти уравнения являются уравнениями сферического движения тела.