Сложное движение тела.

При анализе сложного движения твердого тела, состоящего из нескольких движений, сложение его движений изучается не за конечный промежуток времени, а в данный момент, то есть, в действительности рассматривается сложение угловых и линейных скоростей тела.

Любой вид движения твердого тела можно рассматривать, как сложное движение, состоящее из простейших видов движений. Простейшими видами движения твердого тела считаются поступательное и вращательное его движение.

Приведем некоторые общеизвестные результаты сложения всевозможных сочетаний простейших видов движений твердого тела, доказательства которых приводятся в различных монографиях по теоретической механике.

Сложение вращений вокруг пересекающихся осей.

Рис. 48.

При сложении двух вращений вокруг пересекающихся осей получается сложное движение, которое можно рассматривать, как сферическое движение тела.

Угловая скорость этого движения равна векторной сумме угловых скоростей составляющих вращений: (рис. 48).

Мгновенная ось вращения  сферического движения тела проходит через точку пересечения O пересекающихся осей слагаемых вращение и направлена по вектору мгновенной угловой скорости вращения (рис. 48).

Сложение любого количества вращений вокруг пересекающихся осей можно рассматривать, как сферическое движение тела с угловой скоростью, равной векторной сумме угловых скоростей всех вращений.

Сложение вращений вокруг параллельных осей.

Рис. 49.

При сложении двух вращений вокруг параллельных осей получается сложное движение, которое можно рассматривать, как плоско параллельное движение тела.

Мгновенная угловая скорость такова движения равна векторной сумме угловых скоростей составляющих вращений: .

Мгновенная ось вращения  плоско параллельного движения тела проходит (рис. 49) через точку C, делящую отрезок AB между осями слагаемых вращений на части, обратно пропорционально угловым скоростям этих вращений:

.

При этом точка C располагается между точками A и B, если слагаемые вращения имеют одинаковые направления, и вне отрезка AB, – если направления разные (рис. 49).

Пара вращений.

Рис. 50.

При сложении двух одинаковых по величине вращений, направленных в разные стороны вокруг параллельных осей, движение тела является мгновенно поступательным. При длительном участии тела в паре вращений будет длительным и его поступательное движение.

Пару вращений и её эквивалентность поступательному движению можно наглядно продемонстрировать на приборе, называемом планетарным механизмом (рис. 50). При движении планетарного механизма любой отрезок AB остается параллельным самому себе. Скорости всех точек тела D одинаковы и равны скорости точки M: .

Сложение поступательных движений твердого тела.

При сложении двух и более поступательных движений твердого тела движение тела остается поступательным. Скорость такого движения равна векторной сумме скоростей всех слагаемых поступательных движений.

Сложение поступательного и вращательного движений твердого тела.

При сложении поступательного со скоростью и вращательного с угловой скоростью движений твердого тела целесообразно рассмотреть три случая, в зависимости от взаимного расположения векторов и .

1. Плоско параллельное движение.

Рис. 51.

Если скорость поступательного движения перпендикулярна оси вращения, то есть, , то сложное движение тела можно рассматривать, как плоско параллельное.

Примером такого движения может являться качение без проскальзывания колеса по поверхности. Угловая скорость вращения колеса вокруг своей оси равна . Ось колеса движется со скоростью v=., где  – радиус колеса (рис. 51).

Здесь поступательное движение колеса вместе со своей осью со скоростью v можно заменить парой вращения (₁, ₂), каждое из которых равно . Два вращения с угловыми скоростями  и ₂ можно отбросить (рис. 51).

Оказывается, что качение без проскальзывания колеса по поверхности можно рассматривать, как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через МЦС колеса, который совпадает с точкой K контакта колеса с поверхностью.