57. Решение системы нормальных уравнений в параметрическом способе.

[pa₁a₁]τ₁ + [pa₁a₂]τ₂ +… + [pa₁a_k]τ_k + [pa₁l] = 0

[pa₁a₂]τ₁ + [pa₂a₂]τ₂ +… + [pa₂a_k]τ_k + [pa₂l] = 0

[pa₁a_k]τ₁ + [pa₂a_k]τ₂ +… + [pa_ka_k]τ_k + [pa_kl] = 0

Эти уравнения называют нормальными уравнениями; они представляют собой определенную систему k линейных уравнений с k неизвестными.

Линейная система нормальных уравнений имеет особенности:

1) по диагонали, расположенной слева вниз направо, стоят коэф-ты, которые всегда положительны: их называют квадратичными, а диагональ – квадратичной.

2) остальные, неквадратичные, коэф-ты располагаются симметрично относительно квадратичной диагонали.

Эти св-ва системы используют при ее решении. Гаусс разработал способ решения нормальных ур-ий, который сводится к последовательному исключению из нее всех неизвестных. При этом исходная система заменяется эквивалентной системой уравнений, и имеет вид

[aa]δx₁+[ab]δx₂+[ac]δx₃+......+[ag]δx_r+[al]=0

[bb.1]δx₂+[bc]δx₃ +......+[bg]δx_r+[bl.1]=0

[cc.2]δx₃ +......+[cg]δx_r+[cl.2]=0

Ее получение называют прямым ходом решения. Неизвестные, начиная с последнего, вычисляют из так называемых элиминационных уравнений, получаемых из системы 1 делением на квадратичные коэффициенты.

δx₁=-[ab]δx₂/[aa] -[ac]δx₃/[aa] -....-[ag] δx_r –[al]/[aa]

δx₂=-[bc.1]δx₃/[bb.1] -....-[bg.1]δx_r /[bb.1]–[bl.1]/[bb.1]

Этот процесс называют обратным ходом решения.

Коэффициенты при неизвестных в эквивалентной системе называют алгоритмами Гаусса. Способ Гаусса удобен тем, что все вычисления располагаются в компактной схеме, и позволяющей контролировать промежуточные результаты.

Контроль составления и решения нормальных уравнений производится методом сумм. [a]+[b]+[c]+.....+[g]+[l]=[s]

Коэффициенты нормальных уравнений и их свободные члены контролируют так:

[aa]+[ab]+.....+[ag]+[al]=[as]

[ag]+[bg]+.....+[gg]+[gl]=[gs]

[al]+[bk]+.....+[gl]+[ll]=[ls]

[as]+[bs]+.....+[gs]+[ls]=[ss]

Заключительным контролем прямого хода решения в схеме Гаусса является выполнение равенств [ll/r]=[ls.k]=[ss.k].Затем переходят к вычислению неизвестных δx_j. Получив все неизвестные δx_j, вычисляют поправки v_i и контролируют на основе выражений [av]=0 [bv]=0 [gv]=0. Проверяют также выполнение контрольных равенств [v²]=[ll.k]=[ls.k].

58.Вычисление поправок в параметрическом способе и заключительный контроль уравнивания.

Основным контролем составления и решения нормальных урав­нений является метод сумм.

При составлении таблицы коэффициентов уравнений поправок по каждой строке находят сумму коэффициентов и свободного члена a_i+b_i+c_i+…+g_i+l_i=s_i (i=1,2,3,…,n) (11.36)

Далее находят суммы по столбцам и проверяют правильность вычислений [a] + [b] + [с] + …+ [g] +[l] = [s]. (11.37)

Коэффициенты нормальных уравнений получают путем пере­множения элементов одного столбца на другой и последующего их суммирования.

Контролем правильности вычисления коэффициентов нормаль­ных уравнений является выполнение следующих ра­венств:

(11.38)

В процессе решения нормальных урaвнений равенства (11.38) преобразовывают в следующую систему контрольных равенств:

(11.39)

Контроль правильности вычисления неизвестных δt2 осуще­ствляется путем подстановки численных значении неизвестных в эквивалентные уравнения (11.34)

,

,

(11.34)

Пользуясь полученными значениями неизвестных вычисляют поправки,

(11.40)

которые контролируют по формулам [аv] = [bv] =[cv]=…= [gv]=0.

Правильность вычисления [v²] проверяется по формуле

(11.41)

Окончательным контролем уравнительных вычислений явля­ется соблюдение равенства

x_i+v_i=f_i(t₁⁽⁰⁾+ δt₁, t₂⁽⁰⁾+ δt₂,…, t_k⁽⁰⁾+ δt_k) (11.42)

При уравнивании неравноточных измерений изложенный выше порядок вычислений не меняется, а несколько изменяется вид таблиц в связи с введением в них весов результатов изме­рений.