22. Классическая теория теплоёмкости газов

Различают молярную теплоёмкость С (количество теплоты, которое необходимо сообщить одному молю вещества, чтобы повысить его температуру на 1 К) и удельную теплоёмкость (рассчитывается на единицу массы). Между молярной С и удельной С₀ теплоёмкостью существует связь C=C₀, где  — молярная масса.

Для газа существенно, каким образом происходит его нагревание, поэтому различают:

1. теплоёмкость при изотермическом процессе ;

2. теплоёмкость при изохорном процессе ;

3. теплоёмкость при изобарном процессе .

При изотермическом процессе температура не меняется, поэтому .

При изохорном процессе dQ=dU, так как работа в таком процессе не совершается, поэтому

(22.1)

и, следовательно,

dU=CVdT.

(22.2)

Теплоёмкость при постоянном давлении

.

(22.3)

Представим с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона элементарную работу, совершаемую одним молем идеального газа при изобарном процессе в виде

dA=PdV=RdT.

(22.4)

Подставив (22.4) в (22.3), получим формулу Майера

CP = CV+R,

(22.5)

т.е. C_P >C_V на величину универсальной газовой постоянной.

Выразим теперь молярные теплоёмкости C_V и C_P через число степеней свободы. С учётом (2I.3), из (22.3) следует

.

(22.6)

Зная C_V, из формулы Майера находим

.

(22.7)

Отношение

(22.8)

называется коэффициентом Пуассона. Этот коэффициент с помощью (22.6) и (22.7) можно выразить через число степеней свободы

.

(22.9)

Для одноатомного газа (i=3)  = 1,67; для двухатомного (i=5) = 1.40; для многоатомного (i=6) = 1,33.

23. Адиабатный процесс

Адиабатным называется процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой.

В адиабатном процессе dQ = 0, поэтому первое начало термодинамики применительно к этому процессу принимает вид

dA + dU = 0; dA = -dU,

(23.1)

т.е. при адиабатном процессе газ совершает работу за счёт внутренней энергии.

С помощью (19.1) и (22.2) выражение (23.1) можно представить в виде

PdV = -CVdT.

(23.2)

Видно, что при адиабатном расширении (dV>0) dT<0, т.е. газ охлаждается. И, наоборот, при адиабатном сжатии (dV<0) dT>0, т.е. газ нагревается.

Выразим в (23.2) давление Р с помощью уравнения Менделеева – Клапейрона через другие параметры состояния и разделим в полученном уравнении переменные:

.

Поскольку R = C_P - C_V , то ,

поэтому

Проинтегрируем полученное уравнение:

Рис. 23.1

.

Отсюда после потенцирования

.

(23.3)

Это и есть уравнение адиабаты в координатах Т и V. Его можно записать в координатах P и V, если в (23.3) подставить температуру из уравнения Менделеева – Клапейрона:

.

(23.4)

Поскольку >1, то график адиабаты выглядит круче изотермы — рис. 23.1.