Метод простых итераций

Предварительно необходимо привести систему к виду 

где

В матричной форме : x =  + x ,

где  - матрица-столбец ,

 - квадратная матрица .

Выбор начального приближения 

x⁽⁰⁾ =  .

Замечание. В принципе , x⁽⁰⁾ может быть произвольным . Сходимость процесса зависит только от свойств матрицы  .

Формирование последовательных приближений 

x⁽¹⁾ =  +   x⁽⁰⁾ ,

x⁽²⁾ =  +   x⁽¹⁾ ,

^.

^.

^.

x^(k) =  +   x^(k-1) ,

^.

^.

^.

Если последовательность x⁽⁰⁾, x⁽¹⁾ x⁽²⁾, ... , x^(k), ... имеет предел (  - матрица-столбец ) , то он является решением системы .

Формулы приближений в развернутом виде 

x_i⁽⁰⁾ =  _i ( _ii = 0 ) ,

( i = 1,2,...,n ) ,

( k = 1,2 ,... ) .

Достаточное условие сходимости итерационного процесса любая норма  < 1 .

Замечание . Каноническая норма матрицы - число , определяемое следующим образом :

1. m – норма: ,

2. l – норма: ,

3. k – норма: .

П ример.

Преобразование слу к итерационному виду

1. Выделение уравнений с коэффициентами .

2. Размещение выделенных уравнений по принципу  a_ik=a_jj - максимальный коэффициент - диагональный .

3. Заполнение свободных строк новой системы.

Новое уравнение есть линейная комбинация выделенного (-ых) с одним из оставшихся от

неиспользованных уравнений.

Цель преобразований  получить эквивалентную матрицу с максимальными диагональными элементами.

Оценка погрешности приближений

 x^(k) - x^(k-1)   .

Достоинство метода : удобен для программирования .

Недостаток : предварительное приведения СЛУ к виду , удобному для итераций , в некоторых случаях может оказаться трудоемкой процедурой .

Пример . Решение СЛУ методом простых итераций с точностью 10^-3 (табл. 2.9) .

Преобразование к итерационному виду :

Приведенная СЛУ :

Таблица 2.9

k	x1^(k)	х2^(^k^)	x3^(^k^)	x4^(^k^)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	-2,75 -2,2663 -1,9067 -1,9684 -2,0112 -2,0038 -1,9987 -1,9996 -2,0002 -2,0001	1,0000 0,0227 -0,1299 -0,0022 0,0155 0,0003 -0,0019 -0,0000 0,0002 0	0,1818 1,1234 1,0998 0,9852 0,9880 1,0018 1,0014 0,9998 0,9998 1,0000	-1,5714 -1,1266 -0,9267 -0,9848 -1,0087 -1,0018 -0,9989 -0,9998 -1,0001 -1,0000

, где  = 0,001

Метод Зейделя

Данный метод является модификацией метода простых итераций .

Порядок выполнения итерации:

или

.

Достаточное условие сходимости метода Зейделя аналогично достаточному условию сходимости метода простых итераций.

Достоинство метода  скорость сходимости возрастает и следовательно увеличивается точность результата (при фиксированном количестве итераций).

Недостаток  возрастает трудоемкость .

Пример . Решение СЛУ методом Зейделя с точностью 10^-3 (табл. 2.10) .

Таблица 2.10

k	x1^(k)	x2^(k)	x3^(k)	x4^(k)
0 1 2 3 4 5 6 7	-2,75 -2,2663 -1,8990 -2,0199 -1,9947 -2,0012 -1,9997 -2,0001	1,0000 0,1840 -0,0523 0,0117 -0,0029 0,0007 -0,0002 0,0000	0,1818 1,2580 0,9451 1,0141 0,9967 1,0008 0,9998 1,0001	-1,5714 -0,8882 -1,0301 -0,9931 -1,0017 -0,9996 -1,0001 -1,0000