- •Теорія ймовірностей
- •Робоча програма
- •Іі. Випадкові величини
- •Числові характеристики випадкових величин та їх властивості
- •Методичні рекомендації щодо виконання розрахунково-графічної роботи
- •1. Випадкові події
- •Основні поняття. Операції над подіями
- •Означення ймовірності події. Безпосереднє обчислення імовірностей
- •Властивості ймовірності
- •Елементи комбінаторики
- •Основні правила комбінаторики
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 1
- •1.4. Теореми додавання та множення ймовірностей
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 2
- •1.5. Формула повної ймовірності і формула Баєса
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 3
- •1.6. Повторні незалежні випробування
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 4
- •2. Випадкові величини
- •2.1. Закони розподілу випадкових величин
- •2.2. Числові характеристики випадкових величин
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 5
- •Завдання 6
- •2 .3. Основні види розподілів ймовірностей випадкових величин
- •2 .3.1. Закони розподілу дискретних випадкових величин
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 7
- •Додаток 2
- •Для розрахунково-графічної роботи Дві останні цифри номера залікової книжки
- •Для розрахунково-графічної роботи Дві останні цифри номера залікової книжки
- •Для розрахунково-графічної роботи Дві останні цифри номера залікової книжки
- •Література
1.6. Повторні незалежні випробування
Події називаються повторними, якщо в кожному з них настає одна і та ж подія А з однією і тією ж ймовірністю р.
Нехай відносно деякої випадкової події А проводиться n незалежних випробувань. Всі випробування проводяться в однакових умовах, через що ймовірність настання події А залишається однаковою в кожному випробуванні. Ймовірність того, що подія А відбудеться в кожному з незалежних випробувань, позначають а ймовірність настання протилежної події
Ймовірність однієї складної події, яка полягає в тому, що в n випробуваннях подія А настане m разів і не настане n-m разів дорівнює
Таких складних подій може бути стільки, скільки можна скласти сполучень .
Формула Бернуллі. Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює р, подія настане m разів (байдуже в якій послідовності), дорівнює:
(1.17)
Формулою (1.17) зручно користуватися, якщо (при великих n розрахунки ускладнюються).
Як наслідок з формули Бернуллі, ймовірність того, що подія настане:
а) менше m разів;
б) більше m разів;
в) не менше m разів;
г) не більше m разів;
д) від m1 до m2 разів;
відповідно дорівнює:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
Сума усіх ймовірностей Pn(m) (де m = 0, 1, 2, ., n ) дорівнює одиниці.
Приклад. Середній відсоток неповернення в строк кредиту, що видається банком, складає 10%. Знайти ймовірність того, що при видачі банком 9 кредитів проблеми з поверненням виникнуть
3) принаймні в одному випадку. |
Розв’язання. Маємо схему дев’яти незалежних випробувань. Нехай подія А — «кредит не повернений», тоді Ймовірності обчислюватимемо за формулою Бернуллі:
Подію «із дев’яти кредитів не більш як з двома виникли проблеми» можна розглядати так:
Протилежною для цієї події буде «усі кредити повернені». Обчислимо цю ймовірність:
Найімовірніше число появи події. Число появи події А в n незалежних повторних випробуваннях називається найімовірнішим числом (появи цієї події), якщо їй відповідає найбільша ймовірність. Вона визначається за формулою:
(1.18)
Розподіл може мати одне або два найімовірніші числа.
Зауваження: Число це ціле число.
Приклад. Частка довгих волокон у партії бавовни становить у середньому 0,6 загальної кількості волокон. Скільки потрібно взяти волокон, щоб найімовірніше число довгих волокон серед них дорівнювало 40? |
Розв’язання. Скористаємося формулою, за якою визначається найімовірніше число: Підставимо сюди значення відомих величин:
Задача має два розв’язки: n = 66 i n = 67.
Формула Пуассона. Якщо в кожному з n незалежних повторних випробувань , тоді
, де . (1.19)
Приклад. До банку надійшло 5000 пачок грошових знаків. Ймовірність того, що пачку неправильно укомплектовано, дорівнює 0,0004. Знайти ймовірність того, що серед одержаних пачок буде 3 неправильно укомплектованих. |
Розв’язання. Якщо подія А = {пачку неправильно укомплектовано}, то її ймовірність р = 0,0004. Розглядається схема незалежних випробувань n=5000, m = 3. Ймовірність події А досить мала, тому задачу розв’яжемо за формулою Пуассона:
Виконуючи обчислення, знаходимо:
Локальна теорема Лапласа. Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається такою наближеною залежністю:
де , . (1.20)
Локальна теорема Лапласа дає змогу обчислювати ймовірності , якщо n > 10 i p > 0,1.
Функцію називають функцією ймовірностей або функцією Гауса.
Значення визначають за Додатком 1. При цьому – парна функція, тобто (– х) = .
Приклад. За результатами перевірок податковими інспекціями встановлено, що 90% підприємств регіону мають порушення фінансової дисципліни. Знайти ймовірність того, що серед 400 підприємств 350 з них будуть мати порушення фінансової дисципліни. |
Розв’язання. Подія А = {підприємство регіону має порушення фінансової дисципліни}. За умовою Р(А) = р = 0,9. Проведено n = 400 незалежних перевірок. Розв’яжемо задачу за формулою локальної теореми Лапласа: Підставляючи дані за умовою задачі, дістаємо:
За таблицями (додаток 1) знаходимо беручи до уваги, що – парна функція.
Отже,
Інтегральна теорема Лапласа. Ймовірність того, що подія А відбудеться від до раз при проведенні n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А відбувається з ймовірністю р, подається формулою:
; (1.21)
Функція Ф(х) називається функцією Лапласа.
Значення функції Лапласа визначають за Додатком 2. При цьому Ф(х) – непарна функція, тобто Ф(-х) = -Ф(х). При значеннях аргументу х 5 значення функції Ф(х) = 0,5.
Приклад. За результатами перевірок податковими інспекціями встановлено, що в середньому кожне друге мале підприємство регіону має порушення фінансової дисципліни. Знайти ймовірність того, що з 1000 зареєстрованих в регіоні малих підприємств мають порушення фінансової дисципліни: а) не менше 480; б) від 480 до 520. |
Розв’язання.
а) Подія А = {порушення фінансової дисципліни мають не менше 480 підприємств}. Її ймовірність р = 0,5, кількість незалежних випробувань n = 1000. Застосуємо формулу інтегральної теореми Лапласа:
функція Лапласа, а далі виконаємо обчислення:
Значення функції Лапласа беруться з відповідної таблиці (додаток 2).
б) Подія В = {порушення фінансової дисципліни мають від 480 до 520 підприємств}
Виконаємо допоміжні обчислення: