- •Теорія ймовірностей
- •Робоча програма
- •Іі. Випадкові величини
- •Числові характеристики випадкових величин та їх властивості
- •Методичні рекомендації щодо виконання розрахунково-графічної роботи
- •1. Випадкові події
- •Основні поняття. Операції над подіями
- •Означення ймовірності події. Безпосереднє обчислення імовірностей
- •Властивості ймовірності
- •Елементи комбінаторики
- •Основні правила комбінаторики
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 1
- •1.4. Теореми додавання та множення ймовірностей
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 2
- •1.5. Формула повної ймовірності і формула Баєса
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 3
- •1.6. Повторні незалежні випробування
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 4
- •2. Випадкові величини
- •2.1. Закони розподілу випадкових величин
- •2.2. Числові характеристики випадкових величин
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 5
- •Завдання 6
- •2 .3. Основні види розподілів ймовірностей випадкових величин
- •2 .3.1. Закони розподілу дискретних випадкових величин
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 7
- •Додаток 2
- •Для розрахунково-графічної роботи Дві останні цифри номера залікової книжки
- •Для розрахунково-графічної роботи Дві останні цифри номера залікової книжки
- •Для розрахунково-графічної роботи Дві останні цифри номера залікової книжки
- •Література
2. Випадкові величини
2.1. Закони розподілу випадкових величин
Випадковою називається величина, яка в результаті досліду може прийняти одне і тільки одне значення, що наперед невідоме і залежить від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані.
Дискретною називають випадкову величину, яка набуває окремих, ізольованих можливих значень з певною ймовірністю.
Неперервною називають випадкову величину, яка може набувати всіх значень з деякого кінцевого або нескінченного проміжку.
Приклади|зразки| дискретних випадкових величин:
кількість повернених в строк кредитів;
кількість договорів, за якими страхова компанія виплачує страхові суми;
кількість пакетів акцій, за якими буде отриманий прибуток.
Приклади|зразки| неперервних випадкових величин:
сума прибутку, отриманого через рік;
вклади населення в даному банку.
Законом розподілу випадкової величини називається всяке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їй ймовірностями.
Закон розподілу можна задати:
у табличній формі (ряд розподілу);
|
x1 |
x2 |
x3 |
… |
xn |
|
p1 |
p2 |
p3 |
… |
pn |
;
аналітично (у вигляді формули);
г рафічно.
Графік, що відповідає заданому розподілу називається багатокутником розподілу випадкової величини. При цьому на осі абсцис відкладаються значення хi випадкової величини Х, а на осі ординат – їх ймовірності рi.
-
Приклад. Підприємець може отримати кредит у двох банках: у першому з ймовірністю 0,6 в сумі 15 тис. грн., в другому – з ймовірністю 0,3 в сумі 35 тис. грн. Скласти ряд розподілу випадкової величини Х – загальна сума отриманого кредиту ( у тис. грн.).
Розв’язання. Підприємець може не отримати кредит в жодному з банків, отримати в першому, у другому та у обох банках:
|
0 |
15 |
35 |
50 |
|
0,28 |
0,42 |
0,12 |
0,18 |
Перевірка: 0,28+0,42+0,12+0,18=1.
Функцією розподілу називають функцію , яка визначає ймовірність того, що випадкова величина в результаті випробування набуває значення, меншого за , тобто
. (2.1)
Властивості функції розподілу:
1.
2. , якщо
3.
4.
Приклад. Заданий ряд розподілу випадкової величини Х - числа несвоєчасних розрахунків за продукцію.
Побудувати функцію розподілу числа несвоєчасних розрахунків за продукцію. |
Розв’язання. Випадкова величина Х – число несвоєчасних розрахунків за продукцію – може приймати такі значення
Для побудови графіка функції розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини необхідно розрахувати кумулятивні (накопичені) ймовірності, що відповідають значенням випадкової величини. Алгоритм їх розрахунку витікає з сенсу функції розподілу
Ця формула справедлива для всіх F(хi), окрім F(х0). Оскільки функція розподілу визначає ймовірність того, що випадкова величина набуде значення, менше заданого, зрозуміло: ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, не більш мінімального, дорівнює 0, тобто F(х0) = 0.
Якщо:
, тоді
, тоді
, тоді
, тоді
Щільністю розподілу ймовірності неперервної випадкової величини називають функцію - першу похідну від функції розподілу:
. (2.2)
Властивості щільності розподілу:
1.
2. , зокрема
3.
4. (2.3)
Неперервна випадкова величина може бути задана або функцією розподілу ймовірностей (інтегральна функція розподілу) , або функцією щільності ймовірностей (диференціальна функція розподілу) .
Приклад. Випадкова величина Х задана функцією розподілу:
|
Знайти:
1) коефіцієнт а;
2) щільність ймовірностей
3) ймовірність попадання величини Х в інтервал (2,5; 3,5).
Розв’язання.
Враховуючи вигляд f(x), дістанемо Звідси:
Отже,
Приклад. Випадкова величина Х має щільність розподілу:
Побудувати функцію розподілу і накреслити її графік. |
Розв’язання.
Відомо, що . Знайдемо значення цієї функції на кожному інтервалі окремо:
1. При
2. При
=
3. При
=
Отже,
Побудуємо графік
2