- •Теорія ймовірностей
- •Робоча програма
- •Іі. Випадкові величини
- •Числові характеристики випадкових величин та їх властивості
- •Методичні рекомендації щодо виконання розрахунково-графічної роботи
- •1. Випадкові події
- •Основні поняття. Операції над подіями
- •Означення ймовірності події. Безпосереднє обчислення імовірностей
- •Властивості ймовірності
- •Елементи комбінаторики
- •Основні правила комбінаторики
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 1
- •1.4. Теореми додавання та множення ймовірностей
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 2
- •1.5. Формула повної ймовірності і формула Баєса
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 3
- •1.6. Повторні незалежні випробування
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 4
- •2. Випадкові величини
- •2.1. Закони розподілу випадкових величин
- •2.2. Числові характеристики випадкових величин
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 5
- •Завдання 6
- •2 .3. Основні види розподілів ймовірностей випадкових величин
- •2 .3.1. Закони розподілу дискретних випадкових величин
- •Питання для самоконтролю
- •Завдання 7
- •Додаток 2
- •Для розрахунково-графічної роботи Дві останні цифри номера залікової книжки
- •Для розрахунково-графічної роботи Дві останні цифри номера залікової книжки
- •Для розрахунково-графічної роботи Дві останні цифри номера залікової книжки
- •Література
1.4. Теореми додавання та множення ймовірностей
Теорема додавання ймовірностей для несумісних подій. Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.
Р(А+ В)= Р(А)+ Р(В) (1.8)
Слідство. Ймовірність суми кінцевого числа попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.
Приклад. В урні знаходяться 3 червоних, 2 білих, 5 синіх однакових за розміром куль. Яка ймовірність того, що куля, яка випадковим чином витягується з урни, буде кольоровою? |
Розв’язання. Позначимо, що подія А = {витягання червоної кулі з урни}, подія В = {витягання синьої кулі}. Тоді подія А+B – витягання кольорової кулі. Очевидно, що , .
Застосовуючи теорему додавання для несумісних подій, отримаємо:
Р(А+ В)= Р(А)+ Р(В)= 0,3+ 0,5= 0,8.
Ймовірність події А, обчислена за умови, що подія В вже відбулася, називається умовною ймовірністю події А і позначається
Р(А / В)= PВ(A).
Події А і В називаються незалежними, якщо ймовірність однієї з них не зміниться при настанні іншої. Інакше події А і В називаються залежними.
Теорема множення ймовірностей. Ймовірність добутку двох подій А і В дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, тобто
Р(АВ)= Р(А) PА(В) (1.9)
Теорема множення для незалежних подій. Ймовірність сумісної появи двох незалежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей цих подій:
Р(АВ)= Р(А) P(В) (1.10)
Події називаються незалежними в сукупності, якщо кожна з них і будь-який добуток останніх (що включає або решту всіх подій, або частину з них) є події незалежні.
Слідство 1. Ймовірність добутку кінцевого числа незалежних в сукупності подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:
(1.11)
Слідство 2. Ймовірність появи кінцевого числа залежних подій дорівнює
, (1.12)
де – ймовірність події за умови, що ., вже настали. Відмітимо, що порядок розташування подій може бути будь-яким.
Приклад. Консультаційна фірма претендує на 2 замовлення від 2 крупних корпорацій. Експерти фірми вважають, що ймовірність здобуття консультаційної роботи в корпорації А дорівнює 0,45. Експерти також вважають, що якщо фірма отримає замовлення в корпорації А, то ймовірність того, що і корпорація В звернеться до них, дорівнює 0,9. Яка ймовірність того, що консультаційна фірма отримає обидва замовлення? |
Розв’язання. Позначимо події:
А = {Здобуття консультаційної роботи в корпорації А}, Р(А)= 0,45;
В = {Здобуття консультаційної роботи в корпорації В}, PА(В) = 0,9;
Події А і В — залежні, оскільки подія В залежить від того, станеться чи ні подія А.
Необхідно знайти ймовірність того, що обидві події (і подія А, і подія В) стануться, тобто Р(АВ). Для цього використовуємо теорему множення ймовірностей (1.9):
Р(АВ)= Р(А) PА(В) = 0,45 · 0,9 = 0,405.
Приклад. На станції відправлення є 8 замовлень на відправку товару: п'ять – усередині країни, а три – на експорт. Яка ймовірність того, що два випадково вибраних замовлення виявляться призначеними для вжитку усередині країни? |
Розв’язання. Подія А = {перше узяте випадкове замовлення призначене для внутрішнього вжитку }. Подія В = {друге теж призначене для внутрішнього вжитку}. Нам необхідно знайти ймовірність Тоді за теоремою множення ймовірностей залежних подій маємо
.
Приклад. В урні 5 білих, 4 чорних, 3 синіх кулі. Кожне випробування полягає в тому, що навмання витягують одну кулю, не повертаючи її в урну. Знайти ймовірність того, що при першому випробуванні з'явиться біла куля, при другому – чорна, при третьому – синя. |
Розв’язання. Позначимо події
А = {при першому випробуванні з'явиться біла куля},
В = {при другому випробуванні з'явиться чорна куля},
C = {при третьому випробуванні з'явиться синя куля}.
Оскільки повинні відбутися всі події, то мова йде про добуток подій АВС. Крім того, події А, В, С залежні, бо друга куля витягується з тих, що залишилися після відбору першої.
Ймовірність подій А, В, С визначимо за формулою (1.1). Всього в урні n=12 куль. Виходячи з умови, . Оскільки одну кулю вийняли, то в урні залишилося 11 куль і . Аналогічно . За теоремою множення ймовірностей отримаємо:
.
Теорема додавання ймовірностей сумісних подій. Ймовірність суми двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи.
Р(А+ В)= Р(А)+ Р(В) – Р(АВ) (1.13)
Приклад. Ймовірність отримання прибутку від першої операції дорівнює 0,7, від другої – 0,8. Знайти ймовірність отримання прибутку при підписанні контрактів. |
Розв’язання. Позначимо
А = {прибуток від першої операції},
В = {прибуток від другої операції}.
Прибуток буде отриманий від першої, або другої, або від обох операцій, тобто відбудеться подія А+В. Ймовірність отримання прибутку від кожної операції не залежить від результату іншої. Тому події А і В незалежні і сумісні. За теоремою додавання ймовірностей сумісних подій, маємо:
Р(А+ В)= Р(А)+ Р(В) – Р(АВ)= 0,8 + 0,7 – = 0,94.
Теорема (ймовірність появи принаймні однієї події). Ймовірність появи хоч би однієї з подій , ,…, незалежних в сукупності дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій , ,…,
(1.14)
Якщо події , ,…, мають однакову ймовірність р, тоді ймовірність появи хоч би однієї з подій , ,…,
Система подій , ,…, називається повною групою подій для даного випробування, якщо будь-яким його результатом є одна і лише одна подія цієї групи. Іншими словами, для повної групи виконуються умови:
подія достовірна;
події і (i j) попарно несумісні.
Сума ймовірностей подій повної групи дорівнює одиниці.
Приклад. Ймовірності повернення позики в банк трьома клієнтами відповідно дорівнюють: ; ; . Знайти ймовірність повернення хоча б однієї позики. |
Розв’язання. Позначимо подію А = {повернення хоч би однієї позики}.
Знаходимо ймовірність неповернення позики для кожного клієнта: ; ; . Застосовуючи формулу (1.14), отримаємо: .
Приклад. Вакансії, що пропонуються безробітним біржею праці, задовольняють першому безробітному з ймовірністю 0,02, другому – з ймовірністю 0,05, а третьому – з ймовірністю 0,1. |
Яка ймовірність того, що:
- усі три знайдуть роботу;
- тільки один знайде роботу;
- тільки два знайдуть роботу;
- не менш як два безробітних знайдуть роботу;
- принаймні один.
Розв’язання.
Подія А = {усі три знайдуть роботу}.
Цю подію можна подати як добуток трьох подій де і-тий безробітний знайде роботу. Ймовірність події А обчислюємо так:
2) Нехай згідно з умовою можуть відбутися події , які полягають відповідно в тому, що перший, другий і третій безробітні знайдуть роботу.
Подія В = {тільки один із трьох безробітних знайде роботу}.
Цю подію можна подати так: Групи подій, сумою яких є подія В, несумісні між собою, а події в кожній групі незалежні. Тому ймовірність події В обчислимо так:
3) Подія С = {тільки два із трьох безробітних знайдуть роботу}. Подамо цю подію через події та протилежні до них:
Подію С подано як суму несумісних груп подій. У кожній групі події незалежні. Знайдемо ймовірність події С:
4) Нехай подія D = {серед трьох безробітних не менш як два знайдуть роботу}. Тоді її можна подати як суму двох подій: = {серед трьох безробітних два знайдуть роботу і один не знайде} і А = {усі три знайдуть роботу}.Тому маємо:
5) Подія К = {із трьох безробітних принаймні один знайде роботу}. Протилежна подія - «усі три безробітних не знайдуть роботу». Ймовірність цієї події
або .