3. Ряды распределения и их характеристики

Средние величины

Средняя арифметическая простая:

.

Средняя арифметическая взвешенная:

.

Средняя арифметическая взвешенная по способу моментов:

х = х₀ + k  х¹,

где х₀ – условный нуль;

k – величина, на которую делят разность между значениями вариантов и условным нулем (х – х₀);

х¹ – момент первого порядка, определяемый по формуле

.

Средняя гармоническая простая:

.

Средняя гармоническая взвешенная:

,

где F – объем признака F = хf.

Типовая задача 5. Рассчитать среднее время горения электроламп методом моментов:

Таблица 3.1

Группы электроламп по времени горения, ч	Число электроламп, шт (f)	Х	Х-Х0 (Х0=1300)	К = 200
800-1000	2	900	-400	-2	-4
1000-1200	8	1000	-200	-1	-8
1200-1400	16	1300	0	0	0
1400-1600	9	1500	200	1	9
1600-1800	4	1700	400	2	8
1800-2000	1	1900	600	3	3
Итого	40				8

,

х = 1300 + 0,2  200 = 1340.

Типовая задача 6. Определить время изготовления одной детали.

Таблица 3.2

Порядковый номер рабочего	1	2	3	4	5
Время, затраченное рабочим на изготовление 1-й детали, мин	15	20	10	22	18

В задаче неизвестно, сколько деталей изготовлено каждым рабочим (f), но известно, что каждый рабочий отработал полную смену. Продолжительность смены есть объем признака F = xf. Так как объемы признака у рабочих равны (продолжительность смены одна и та же), то для расчета используем формулу средней гармонической простой.

,

.

Структурные средние

Мода – наиболее часто встречающаяся величина признака в совокупности:

где Х_mo – нижняя граница модального интервала;

i_mo – величина модального интервала;

f_mo, f_mo-1, f_mo+1 – соответственно частоты модального, предмодального и послемодального интервалов.

Медиана – значение признака, делящего ранжированный ряд на две равные части:

где Х_me – нижняя граница медианного интервала;

i_me – величина медианного интервала;

f – сумма частот ряда;

S_me-1 – сумма накопленных частот до медианного интервала;

f_me – частота медианного интервала.

Типовая задача 7. По данным типовой задачи 5 определить моду и медиану.

Для определения моды выбираем тот интервал, у которого максимальная частота. Это будет третий интервал (1200 - 1400).

Для определения медианы выбираем тот интервал, у которого сумма накопленных частот содержит половину всех частот. Это опять тот же 3-й интервал 1200 – 1400 (сумма накопленных частот этого интервала: 2 + 8 + 16 = 26. Половина всех частот: 40/2 = 20). Сумма накопленных частот до медианного интервала: 2 + 8 = 10.

Показатели вариации

Размах вариации:

.

Среднее линейное отклонение:

Простое Взвешенное

Дисперсия:

При неравенстве частот При равенстве частот

. .

Среднее квадратическое отклонение:

.

Дисперсия альтернативного признака:

,

где р – доля единиц совокупности, обладающих признаком;

g – доля единиц совокупности, не обладающих признаком.

Упрощенный способ расчета дисперсии:

,

где

Моментальная формула расчета дисперсии:

где

Коэффициент вариации:

.

Правило сложения дисперсии:

,

где  - средняя из групповых дисперсий.

где - групповые или частные дисперсии.

где ² – межгрупповая дисперсия.

Типовая задача 8. Проверить правило сложения дисперсии по исходным данным:

Таблица 3.3

Группы рабочих по размеру среднедневной заработной платы, р.	Число рабочих
	Цех 1	Цех 2	Цех 3	Всего по заводу
1	2	3	4	5
70-80	10	30	10	50
80-90	20	40	40	100
Продолжение табл. 3.3
1	2	3	4	5
90-100	50	10	140	200
100-110	60	80	120	260
110-120	40	70	80	190
120-130	20	60	60	140
130-140	0	10	50	60
Итого	200	300	500	1000

Определяем по способу моментов среднюю заработную плату (х ), дисперсию (²) для всей совокупности рабочих (10000 человек), а также среднюю заработную плату и дисперсию для каждого цеха (т.е. средниех₁,х₂,х_3, и групповые дисперсии ₁², ₂², ₃²), как это показано в табл. 3.4.

Для всей совокупности:

Средние по группам:

Групповые дисперсии:

Средняя из групповых дисперсий:

Межгрупповая дисперсия:

Подставляя в формулу соответствующие значения, получаем

² = 230,67 + 2,33 = 233.

Задачи

3.1. Имеются следующие данные о выпуске продукции по 23 предприятиям, млн. р.

28 94 19 25 35 32 23 25

86 15 32 42 34 13 34 50

4 36 60 32 2 56 54

Определить средний объем выпуска на одно предприятие.

3.2. Определить среднемесячную ЗП рабочих предприятия.

Таблица 3.6

Исходные данные к задаче 3.2

Месячная ЗП, р.	Число рабочих, чел.
110	2
130	6
160	16
190	12
220	14
ИТОГО	50

3.3. Определить средний стаж работников торгового предприятия.

Таблица 3.7

Исходные данные к задаче 3.3

Продолжительность стажа работы, лет	Частость, w %
3	20
4	40
5	30
6	10
ИТОГО	100

3.4. Бригада было занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь обтачивал одну деталь 12 минут, второй – 15 мин., третий – 11 мин., четвертый – 16 мин. и пятый – 14 мин. Определить среднее время, затрачиваемое на изготовление одной детали.

3.5. Имеются следующие данные об издержках производства и себестоимости продукции по трем предприятиям. Определить среднюю себестоимость продукции.

Таблица 3.8

Исходные данные к задаче 3.5

Номер предприятия	Издержки производства, тыс. р.	Себестоимость единицы продукции, р.
1	200	20
2	460	23
3	110	22

3.6. Определить среднюю заработную плату рабочих по двум цехам за сентябрь, октябрь и в целом за два месяца.

Таблица 3.9

Исходные данные к задаче 3.6

Номер цеха	Сентябрь		Октябрь
	Средняя ЗП, р.	Число рабочих, чел.	Средняя ЗП, р.	Фонд ЗП, р.
1	56000	320	57000	17100000
2	58000	200	60000	15000000
Итого	-	520	-	32100000

3.7. Определить среднюю урожайность зерновых в целом по всем хозяйствам.

Таблица 3.10

Исходные данные к задаче 3.7

Хозяйство	Урожайность зерновых, ц/га	Валовой сбор зерна, ц
1	18	18 000
2	20	30 000
3	21	63 000
4	22	44 000
5	25	30 000
ИТОГО	-	185 000

3.8. Автомашина совершила рейс общей протяжен-ностью 500 км, из которых 240 км прошла со скоростью 30 км/ч, 160 км – со скоростью 40 км/ч, а 100 км – со скоростью 25 км/ч. Определить среднюю скорость, с которой двигалась машина.

3.9. Двое рабочих в течение 8-часового рабочего дня были заняты изготовлением одинаковых деталей. Первый изготовил 32 детали, а второй – 24 детали.

Определить среднее значение затрат времени на изготовление одной детали.

3.10. Автомашина шла 3 часа со скоростью 30 км/ч, 5 часов – 40 км/ч, 2 часа – 50 км/ч. Определить среднюю скорость.

3.11. Определить с помощью метода моментов средний размер товарооборота.

Таблица 3.11

Исходные данные к задаче 3.11

Группы предприятий по размеру товарооборота, тыс. р.	Число предприятий
до 400	9
400 – 500	12
500 – 600	8
600 – 700	9
Свыше 700	2
ИТОГО	40

3.12. Определить моду.

Таблица 3.12

Исходные данные к задаче 3.12

Группы рабочих по уровню образования, число классов	до 4	5	6	7	8	9	10
Число рабочих, чел.	10	10	12	32	15	6	25

3.13.Определить моду.

Таблица 3.13

Исходные данные к задаче 3.13

Размер совокупного дохода на члена семьи, р.	65	100	210	230	260	свыше 260
Число семей, % к итогу	5	12	42	19	10	12

3.14. Определить моду.

Таблица 3.14

Исходные данные к задаче 3.14

Группы порций торфа по влажности, %	Число проб
20 – 22	3
22 – 24	6
24 – 26	11
26 – 28	18
28 – 30	7
30 – 32	5
ИТОГО	50

3.15. Определить моду и медиану.

Таблица 3.15

Исходные данные к задаче 3.15

Группы предприятий по числу рабочих, чел.	Число предприятий
1	2
100 – 200	4
Продолжение табл. 3.15
1	2
200 – 300	5
300 – 400	8
400 – 500	35
500 – 600	22
600 – 700	20
700 – 800	6
ИТОГО	100

3.16. Определить моду и медиану.

Таблица 3.16

Исходные данные к задаче 3.16

Тарифный разряд	Число рабочих
2	4
3	5
4	9
5	4
6	2
ИТОГО	24

3.17. Имеются данные о производительности труда 50 рабочих. Определить среднее линейное отклонение.

Таблица 3.17

Исходные данные к задаче 3.17

Произведено продукции одним рабочим за смену, шт., x	Число рабочих f
8	7
9	10
10	15
11	12
12	6
ИТОГО	50

3.18. Определить размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Таблица 3.18

Исходные данные к задаче 3.18

Продукция на 100 га угодий, тыс. р.	Число хозяйств
10	2
12	5
17	7
20	3
22	2
25	1
ИТОГО	20

3.19. Определить показатели вариации.

Таблица 3.19

Исходные данные к задаче 3.19

Число изделий, шт.	Число рабочих, чел. f
до 60	10
60 – 70	20
70 – 80	50
80 – 90	15
90 – 100	5
ИТОГО	100

3.20. Определить дисперсию по способу моментов.

Таблица 3.20

Исходные данные к задаче 3.20

Группы предприятий по выпуску продукции, т	Число предприятий, % к итогу
1000 - 3000	12
3000 – 5000	20
5000 – 7000	40
7000 – 9000	18
9000 – 11000	10
ИТОГО	100

3.21. Определить дисперсию по способу моментов.

Таблица 3.21

Исходные данные к задаче 3.21

Группы работников по стажу работы, лет	Число работников, % к итогу
до 2	-
2 – 4	3
4 – 6	20
6 – 8	10
8 – 10	32
10 – 12	20
12 – 14	10
Свыше 14	5
ИТОГО	100

Домашнее задание

Задача 1. Определить среднедневное число деталей, обработанных одним рабочим каждой бригады и в целом по двум бригадам.

Таблица 3.22

Номер рабочего 1 бригады	Дневная выработка рабочего 1 бригады, шт.	Номер рабочего 2 бригады	Дневная выработка рабочего 2 бригады, шт.
1	70	1	74
2	73	2	83
3	68	3	81
4	75	4	100
5	75	5	73
6	*	6	80

Задача 2. Определить среднюю ЗП рабочих в целом по предприятию.

Таблица 3.23

Цехи	1	2	3	4
Средняя ЗП, р.	1100	1230	1150	1350
ФОТ, % к итогу	20	30	10	40

Задача 3. Определить среднюю цену реализации.

Таблица 3.24

Предприятие	Цена единицы продукции, р.	Объем реализации, тыс. р.
1	30	600
2	20	1000
3	35	350
ИТОГО	-	1950

Задача 4. Определить среднее число рабочих в бригаде.

Таблица 3.25

Группы бригад по числу рабочих, чел.	Число бригад	Середина интервала
16 – 20	80	18
21 – 25	44	23
26 – 30	100	28
31 – 35	200	33
36 – 40	40	38
41 – 50	20	43
46 – 50	16	48
ИТОГО	500	-

Задача 5. Распределение гостиниц региона по числу обслуживаемых туристов в месяц характеризуется следующими данными:

Таблица 3.26

Группы гостиниц по числу принимаемых туристов в месяц, чел.	1800-2000	2000-2200	2200-2400	2400-2600	2600-2800	2800-3000	3000-3200
Число гостиниц, процент к итогу	7,3	10,4	12,2	25,5	22,4	14,6	7,6

Определите методом условного нуля (методом моментов) среднее число туристов, обслуживаемых гостиницами в месяц.

Задача 6. Распределение численности рабочих и служащих по возрасту в промышленности, сфере услуг и медицины характеризуется следующими данными:

Таблица 3.27

Возраст, лет	Численность рабочих и служащих в процентах к итогу
	промышленность	сфера услуг	медицина
До 25	9	14,1	5,1
25-35	34,9	29,7	7,9
35-45	35,6	26,3	11,5
45-50	8,1	12,8	27,7
50-55	7,3	10,5	24,6
55-60	4	4,5	15,4
60 и старше	1,1	2,1	7,8
Итого	100	100	100

Определите моду, медиану, квартили и децили возраста работающих по отраслям народного хозяйства. Сделайте выводы.

Задача 7. Имеются следующие данные о длине маршрута движения городского транспорта:

Таблица 3.28

Длина маршрута, км	До 8	8-10	10-12	12-14	14-16	16-18	Свы-ше 18
Число единиц городского транспорта, в процентах к итогу	3,0	12,8	15,2	15,3	38,0	10,4	5,3

Определите моду, медиану, квартили и децили длины маршрута городского транспорта.

Задача 8. Определить:

1) среднюю урожайность в 1996 и 1997 гг.

2) изменение средней урожайности в 1997 г. по сравнению с 1996 г.

3) показатели вариации за 1997 г.

Таблица 3.29

Номер хозяйства	1996 г.		1997 г.
	Урожайность пшеницы, ц/га	Посевная площадь, га	Урожайность пшеницы, ц/га	Валовой сбор зерновых, ц
1	19,0	250	21,2	5300
2	20,5	260	22,0	6600
3	23,0	300	24,0	7680

Задача 9. Определить показатели вариации.

Таблица 3.30

Группы студентов по возрасту, лет x	Число студентов, чел. f
17	10
18	50
19	70
20	30
21	10
ИТОГО	170