6. Выборочное наблюдение

Большая выборка

Соотношение между генеральной и выборочной средними:

х =

гдех – генеральная средняя;

- выборочная средняя;

 - предельная ошибка выборки.

Предельная ошибка выборки

 = t  ,

где t – коэффициент доверия;

 - средняя ошибка выборки.

Средняя ошибка выборки при собственно случайном и механическом отборе:

при повторном методе отбора ;

при бесповторном методе отбора ,

где - дисперсия выборочных данных.

Средняя ошибка выборки при гнездовом или серийном отборе:

при повторном отборе ;

при бесповторном отборе ,

где - межгрупповая вариация;

s – количество отобранных серий;

S – количество серий в генеральной совокупности.

Численность выборки

При повторном отборе:

При бесповторном отборе:

Типовая задача 17. Из 25000 вкладчиков в сберегательных кассах города подвергнуто пропорциональному типическому отбору по общественным группам 2000 вкладчиков, которые по размеру вклада распределились следующим образом:

Таблица 6.1

Общественные группы	Группы вкладчиков по размеру вкладов			Итого вкладчиков
	10 - 310	310 - 610	610 - 910
1	2	3	4	5
Рабочие	300	80	20	400
Продолжение табл. 6.1
1	2	3	4	5
Служащие	400	400	200	1000
Прочие	300	120	180	600
Итого	1000	600	400	2000

Определить: 1) возможные пределы среднего вклада для всех вкладчиков (с вероятностью 0,997);

2) возможные пределы доли вкладчиков с размером вклада до 310 р. (с вероятностью 0,954).

1) Средняя ошибка выборки при типичном бесповторном отборе определяется по формулам:

,

Выборочная средняя

Дисперсии типических групп и средняя внутригрупповая дисперсия:

Средняя ошибка выборки

С вероятностью F(t) = 0,997 (t = 3) предельная ошибка выборки  = 4,858  3 = 14,6.

Средний вклад всех вкладчиков находится в пределах 370  14,6 р.

2) Средняя ошибка выборочной доли при типическом бесповторном отборе определяется по формуле:

г де w(1-w) – средняя внутригрупповая дисперсия, равная средней взвешенной из дисперсии отдельных типических групп.

Выборочная доля вкладчиков с размером вклада до 310 р., в процентах:

Дисперсии типических групп и средняя внутригрупповая дисперсия:

w₁ (1 – w₁) = 75  25 = 1875,

w₂ (1 – w₂) = 40  60 = 2400,

w₃ (1 – w₃) = 50  50 = 2500.

Средняя ошибка доли

С вероятностью F(t) = 0,954 коэффициент доверия t = 2;  = 1,03  2 = 2,06.

Доля вкладчиков, вклад которых не превышает 310 р., находится в пределах 50  2,06 %.

Типовая задача 18. Из 100 ящиков по 400 деталей в каждом, в порядке случайной бесповторной серийной выборки отобрано 5 ящиков, все детали которых проверены на вес. Были получены следующие результаты:

Таблица 6.2

Ящики	1	2	3	4	5
Средний вес детали, г	50	49	53	53	55

Определить: 1) возможные пределы среднего веса детали в ящиках, поступивших на склад (с вероятностью 0,954);

2) объем случайной бесповторной серийной выборки, чтобы с вероятностью 0,683 предельная ошибка выборки при определении среднего веса детали не превышала 0,7 г.

1) Средняя ошибка серийной бесповторной выборки определяется по формуле:

.

где - средние показатели серий.

Межсерийная выборочная дисперсия равна:

С вероятностью 0,954 (t = 2)  = 2  0,95 = 1,9.

Средний вес деталей в ящиках находится в пределах:

х = 52  1,9 (г).

2) Объем выборки при исчислении выборочной средней методом серийной выборки с равновеликими сериями определяется по формуле

При заданной вероятности F (t) = 0,683 t = 1.

Межсерийная дисперсия – 4,8; предельная ошибка выборки по условию задачи равна 0,7 г.

Малая выборка

Средняя ошибка малой выборки:

Предельная ошибка малой выборки:

_мв = _мв  t_c,

где t_с – коэффициент Стьюдента.

Коэффициент Стьюдента определяется по таблицам распределения Стьюдента для вероятности S (t) и n.

Вероятность Стьюдента связана с доверительной вероятностью следующим образом:

Типовая задача 19. Отобрано 10 рабочих для определения времени выполнения ими определенной операции. Среднее время у них оказалось равным 10,4 мин, а дисперсия выборки – 4. С вероятностью 0,984 определить среднее время на данную операцию у всех рабочих.

Средняя ошибка малой выборки:

Вероятность Стьюдента:

По таблице распределения Стьюдента находим для S (t) = 0,992 и n = 10, t = 3.

Предельная ошибка малой выборки:

_мв = _мв  t_c,

_мв = 0,67  3 = 2,01.

С вероятностью 0,984 можно утверждать, что среднее время на данную операцию находится в пределе 10,4  2,01 минуты.

Задачи

6.1. Методом случайной повторной выборки было взято для проверки на вес 200 штук деталей. В результате был установлен средний вес детали 30 г при среднем квадратическом отклонении 4 г. С вероятностью 0,954 требуется определить пределы, в которых находятся средний вес деталей в генеральной совокупности.

6.2. В районе А проживает 2500 семей. Для установления среднего числа детей в семье была проведена 2%-ная случайная бесповторная выборка. В результате получены следующие данные:

Таблица 6.3

Число детей в семье	0	1	2	3	4	5
Число семей	10	20	12	4	2	2

С вероятностью 0,997 определить границы, в которых будет находиться среднее число детей в семье в генеральной совокупности (в городе А).

6.3. Методом собственно случайной (повторной) выборки обследована жирность молока у 100 коров. По данным выборки средняя жирность молока оказалась равной 3,64 %, а дисперсия составила 2,56.

Определить: а) среднюю ошибку выборки; б) с вероятностью, равной 0,954, предельные значения генеральной средней.

6.4. При обследовании 100 образцов изделий, отобранных из партий в случайном порядке, оказалось 20 нестандартных. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится доля нестандартной продукции в партии.

6.5. В городе 500 тысяч жителей. По материалам учета городского населения было обследовано 50 тысяч жителей методом случайного бесповторного отбора. В результате обследования установлено, что в городе 15% жителей старше 60 лет. Вероятность равна 0,683.

6.6. На основе обследования 600 рабочих (n = 600) одной из отраслей промышленности установлено, что удельный вес численности женщин составил 0,4 (w = 0.4). С какой вероят-ностью можно утверждать, что при определении доли женщин, занятых в этой отрасли, допущена ошибка (), не превышающая 5% (0,05).

6.7. В районе А проживает 2000 семей. В порядке случайной бесповторной выборки определить, какое количество семей необходимо отобрать, чтобы ошибка выборочной средней не превышала 0,8 с вероятностью 0,954 и при среднем квадратическом отклонении 2 человека.

6.8. Для определения средней длины детали необходимо провести выборочное обследование методом случайного повторного отбора. Какое количество деталей нужно отобрать, чтобы ошибка выборки не превышала 2 мм, с вероятностью 0,954 при среднем квадратическом отклонении 8 мм? Решить задачу при условии, что отбор повторный.

6.9. Сколько рабочих завода нужно отобрать в порядке случайной выборки для определения средней заработной платы, чтобы с вероятностью 0,954 можно было бы гарантировать ошибку не более 50 рублей? Предполагаемое среднее квадратическое отклонение заработной платы 2 = 200 рублей.

Домашнее задание

Задача 1. Из партии электроламп взята 20%-ная случайная бесповторная выборка для определения среднего веса спирали. Результаты представлены в табл. 6.4:

Таблица 6.4

Вес, мг	38-40	40-42	42-44	44-46
Число спиралей	15	30	45	10

Определить с вероятностью 0,95 (t = 1,96) доверительные интервалы, в которых лежит средний вес спирали, для всей партии электроламп.

Задача 2. На заводе электроламп из партии продукции в количестве 16000 штук ламп взято на выборку 1600 штук (случайный бесповторный отбор), из которых 40 штук оказались бракованными. Определить с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится процент брака для всей партии продукции.

Задача 3. По городской телефонной сети в порядке случайной выборки (механический) отбор произвели 100 наблюдателей и установили среднюю продолжительность телефонного разговора 5 минут при среднем квадратическом отклонении 2 минуты. Какова вероятность того, что ошибка при определении средней продолжительности телефонного разговора не превысит 18 секунд?