МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Кіровоградський національний технічний університет факультет проектування і експлуатації машин кафедра вищої математики та фізики

ВИЩА МАТЕМАТИКА

Елементи математичного аналізу функції однієї змінної

Методичні вказівки та індивідуальні завдання

для самостійної роботи студентів технічних спеціальностей

Кіровоград

2011

Вища математика. Елементи математичного аналізу функції однієї змінної. Методичні вказівки та індивідуальні завдання для самостійної роботи студентів технічних спеціальностей / Укл.: В.І.Гуцул, С.Я.Гончарова – Кіровоград: КНТУ, 2011. – 140 с.

Методичні вказівки та індивідуальні завдання по вивченню розділів „Диференціальне числення функції однієї змінної”, „Інтегральне числення функції однієї змінної”, курсу „Вища математика”. Призначені для самостійної роботи студентів технічних спеціальностей денної та заочної форм навчання. По кожній темі наведені основні теоретичні положення, розглянуті типові приклади та розроблені індивідуальні завдання, що дозволяє ефективно використовувати дану розробку при модульно-рейтинговій системі навчання.

Затверджено на засіданні

кафедри вищої

математики та фізики.

Протокол № 7 від 01.03.2011 р.

© В.І.Гуцул, 2011

© С.Я.Гончарова, 2011

ЗМІСТ

Зміст………………………………………………………………………. 3

Організація навчального процесу за кредитно-модульною системою………………………………………………………………….. 5

Розділ 1 Похідна і диференціал. Правила і методи диференціювання…………………………………………………………. 5

§1.1. Поняття та властивості похідної………………………………. 8

§1.2. Похідна складної функції…………………………………….. 12

§1.3. Диференціювання неявно заданих функцій,

логарифмічне диференціювання……………………………… 14

§1.4. Диференціал функції. Наближені обчислення

за допомогою диференціалів…………………………………. 16

§1.5. Поняття про похідні вищих порядків………………………… 18

Розділ 2. Застосування похідної і диференціала Дослідження функції……………………………………………………. 20

§2.1. Знаходження границі за допомогою похідної.

Правило Лопіталя……………………………………………… 20

§2.2. Асимптоти кривої……………………………………………… 23

§2.3. Рівняння дотичної і нормалі до графіка функції……………. 26

§2.4. Обчислення найбільшого і найменшого

значення функції на відрізку…………………………………. 27

§2.5. Дослідження функції на зростання,

спадання і точки екстремуму…………………………………. 28

§2.6. Опуклість кривої і точки перегину…………………………… 32

§2.7. Повне дослідження функції і побудова графіка…………….. 35

Розділ 3. Невизначений інтеграл……………………………………….. 40

§3.1. Поняття невизначеного інтеграла. Найпростіші прийоми інтегрування…………………………………………………………….. 40

§3.2. Методи інтегрування…………………………………………. 44

§3.3. Інтегрування деяких виразів, що містять

квадратний тричлен…………………………………………… 48

§3.4. Інтегрування найпростіших дробів………………………….. 50

§3.5. Інтегрування дробово-раціональних функцій……………….. 52

§3.6. Інтегрування тригонометричних функцій…………………… 57

§3.7. Інтегрування ірраціональних функцій………………………. 61

Розділ 4. Визначений інтеграл.

Застосування визначеного інтеграла………………………… 64

§4.1. Означення та основні властивості визначеного інтеграла….. 64

§4.2. Обчислення визначеного інтеграла………………………….. 66

§4.3. Площа плоскої фігури………………………………………… 68

§4.4. Довжина дуги…………………………………………………. 72

§4.5. Обчислення об’єму тіла обертання і площі

поверхні обертання……………………………………………. 74

§4.6. Обчислення статичних моментів, моментів інерції

та координат центра ваги……………………………………… 75

§4.7. Обчислення роботи та деякі задачі механіки рідини……….. 79

§4.8. Невласні інтеграли…………………………………………….. 84

§ 4.9. Наближені обчислення визначеного інтеграла…………….. 86

Індивідуальні завдання…………………………………………………. 90

Рекомендована література…………………………………………….. 140