§3.6. Інтегрування тригонометричних функцій.
Розглянемо інтеграл виду
.
(6.1)
Тут і надалі R – раціональна функція своїх аргументів. Інтеграл (6.1) зводиться до інтеграла від раціональної функції за допомогою підстановки
. (6.2)
Вказана заміна змінної називається універсальною тригонометричною підстановкою. Враховуючи що
,
,
,
дістаємо
. (6.3)
Приклад
1. Знайти
інтеграл
.
Розв’язання. Застосовуємо універсальну тригонометричну підстановку:
.
Недоліком підстановки (6.1) є те, що після її здійснення, як правило, під знаком інтеграла з’являються громіздкі вирази. Розглянемо деякі більш частинні випадки інтегралів від тригонометричних функцій.
1) Перший з інтегралів
,
(6.4)
береться
за допомогою підстановки
,
а другий –
.
Приклад
2. Знайти
інтеграл
.
Розв’язання. Маємо перший з інтегралів (6.4). Можемо записати
.
2) Для інтегралів
,
,
(6.5)
де
m
i n
– цілі числа, потрібно застосувати
підстановку
.
для вказаної заміні отримуємо
,
;
.
Приклад
3. Знайти
інтеграл
.
Розв’язання. Маємо другий з інтегралів (6.5). Використовуючи заміну , дістаємо
.
3) Інтеграли
,
,
(6.6)
де p –додатне ціле число, беруться за допомогою підстановок , відповідно. Для цих інтегралів можемо записати
,
.
Приклад
4. Знайти
інтеграл
.
Розв’язання. Маємо другий з інтегралів (6.6). Робимо підстановку :
4) Для інтегралів
, (6.7)
де m i n – цілі невід’ємні числа, застосовуються тригонометричні формули, які дозволяють знизити степінь тригонометричних функцій у два рази, а саме
,
,
.
Приклад
5. Знайти
інтеграл
.
Розв’язання. Беремо інтеграл за допомогою формул зниження степеня:
5) Інтеграли
,
,
(6.8)
беруться за допомогою наступних тригонометричних формул (формул перетворення добутків у суми):
,
,
.
Приклад
6. Знайти
інтеграл
.
Розв’язання. Застосовуючи першу з наведених вище формул, дістаємо
.
§3.7. Інтегрування ірраціональних функцій
Інтеграл
(7.1)
зводиться до інтеграла від раціональної функції за допомогою підстановки
.
(7.2)
Тут R – раціональна функція своїх аргументів, k – найменше спільне кратне (НСК) знаменників n, … , s.
Приклад
1. Обчислити
інтеграл
.
Розв’язання.
У
даному випадку підінтегральна функція
раціонально залежить від аргументів
i
.
Так як найменше спільне кратне чисел 4
і 2 дорівнює 4, то потрібно зробити
підстановку
:
.
Аналогічно попередньому, інтеграл
(7.3)
зводиться до інтеграла від раціональної функції за допомогою підстановки
;
;
,
(7.4)
де k – НСК знаменників n, …, s.
Приклад
2.
Знайти інтеграл
.
Розв’язання. Маємо інтеграл типу (7.3). Робимо підстановку (7.4):
,
,
,
;
.
Розглянемо інтеграл виду
(7.5)
Після виділення в квадратному тричлені повного квадрата і заміни змінної отримаємо один з трьох інтегралів, кожен з яких може бути знайдений при допомозі відповідної тригонометричної підстановки:
, 
; (7.6)
, 
;
(7.7)
, 
. (7.8)
Приклад
3.
Обчислити інтеграл
.
Розв’язання. Виділяємо в знаменнику повний квадрат і робимо першу підстановку:
.
Отримали
інтеграл (7.6). Робимо вказану підстановку
і, враховуючи, що
,
дістаємо
.
Останній інтеграл береться за допомогою універсальної тригонометричної підстановки:
.
Розділ 4. Визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла.