§3.3. Інтегрування деяких виразів, що містять квадратний тричлен.

Розглянемо інтеграли виду

, , (3.1)

, , (3.2)

де А, В, а, b, с – сталі.

Інтеграли (3.1) зводяться до табличних за допомогою виділення повного квадрата у квадратному тричлені знаменника, а саме:

.

У залежності від значень параметрів а і l будимо отримувати різні табличні інтеграли. Наприклад, якщо , то для першого інтеграла отримуємо

;

якщо , то для другого інтеграла дістаємо

.

Приклад 1. Знайти інтеграли:

а) ; б) .

Розв’язання. а) Виділяємо в знаменнику повний квадрат і інтегруємо:

.

б) Аналогічно попередньому отримуємо

Розглянемо інтеграли (3.2). В чисельнику виділяємо похідну від квадратного тричлена знаменника ( ):

;

;

.

Два з чотирьох отриманих інтегралів були розглянуті вище, а для двох інших маємо:

;

.

Приклад 2. Обчислити інтеграл .

Розв’язання. Враховуючи, що похідна знаменника дорівнює , дістаємо

.

§3.4. Інтегрування найпростіших дробів

Найпростішими (або елементарними) називаються наступні чотири типи дробів:

I. ;

II. , де k – додатне ціле число більше одиниці;

III. , (дискримінант від’ємний);

IV. , , k – додатне ціле число більше одиниці. Тут A, B, a, p, q – сталі.

Для найпростіших дробив першого і другого типів маємо:

,

.

Інтегрування елементарного дробу третього типу було розглянуто в попередньому параграфі (перший з інтегралів (3.2) при ).

Найскладнішим і найбільш громіздким є інтегрування елементарного дробу четвертого типу. У загальному випадку вказаний інтеграл береться за допомогою рекурентної формули. Для інтеграла (n – додатне ціле число) справедлива наступна рекурентна формула

, (4.1)

де . Формулу (4.1) дозволяє звести обчислення інтеграла до обчислення табличного інтеграла .

Приклад 1. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Виділяємо в чисельнику похідну від квадратного тричлена знаменника і розбиваємо інтеграл на два:

.

Для першого інтеграла можемо записати

.

У другому інтегралі робимо підстановку і застосовуємо формулу (4.1) (тут ):

.

Остаточно маємо:

.

§3.5. Інтегрування дробово-раціональних функцій

Розглянемо інтеграл від дробово-раціональної функції тобто інтеграл виду , де Р(х), Q(x) – многочлени. В загальному випадку за допомогою перетворень підінтегральної функції обчислення такого інтеграла зводиться до інтегрування многочлена і найпростіших дробів.

Наведемо спочатку деякі поняття і властивості для раціонального дробу . Дріб називається правильним, якщо степінь многочлена чисельника менший за степінь многочлена знаменника. Як що ж степінь многочлена чисельника не менший за степінь многочлена знаменника, то дріб називається неправільним. Поділивши у неправильному дробу чисельник на знаменник (виділивши цілу частину), дістанемо

, (5.1)

де – частка, – остача, – правильний раціональний дріб.

Знаменник можна представити у вигляді добутку лінійних і квадратичних виразів (деякі з них можуть повторюватися), а саме

. (5.2)

Тут мається на увазі, що квадратні тричлени у формулі (5.2) на лінійні множники не розкладаються (дискримінанти від’ємні). Лінійні множники відповідають дійсним кореням многочлена ( є дійсним m-кратним коренем і т.д.); кожен квадратичний множник відповідає парі комплексно-спряжених коренів.

Правильний раціональний дріб , знаменник якого представлений у вигляді добутку (5.2), розкладається на найпростіші дроби за допомогою наступної формули

, (5.3)

де – невідомі числові коефіцієнти, які потрібно визначати (методи обчислення цих коефіцієнтів будуть розглянуті на конкретних прикладах).

Приклад 1. Розкласти дріб на найпростіші.

Розв’язання. Дріб правильний і знаменник представлений у формі (5.2). Застосовуємо формулу (5.3), приводимо праву частину до спільного знаменника і записуємо многочлен чисельника у стандартній формі:

.

Прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях х многочленів чисельників крайнього лівого і крайнього правого дробів, одержимо:

Розв’язавши систему лінійних рівнянь (можна застосовувати метод Гаусса, формули Крамера і т.д.), знайдемо .

Підставивши ці значення, остаточно маємо:

.

Невідомі коефіцієнти у наведеному вище прикладі були знайдені методом невизначених коефіцієнтів.

Дробово-раціональну функцію можна інтегрувати за наступною загальну схему:

1. якщо дріб неправильний, то ділимо чисельник на знаменник і застосовуємо формулу (5.1) (виділяємо цілу частину);

2. знаменник Q(x) розкладаємо на добуток лінійних і квадратичних множників, тобто представляємо його у формі (5.2);

3. правильний раціональний дріб розкладаємо на найпростіші дроби за допомогою формули (5.3);

4. інтегруємо перетворену функцію.

Приклад 2. Обчислити .

Розв’язання. Під знаком інтеграла неправильний дріб. Поділивши чисельник на знаменник, одержимо

Розкладемо знаменник в добуток:

.

Застосуємо формулу (5.3) і приведемо до спільного знаменника:

.

Прирівняємо чисельники крайніх дробив:

.

З метою визначення невідомих коефіцієнтів надамо х три числових значення (по кількості невідомих). У загальному випадку в якості вказаних значень потрібно брати дійсні корені знаменника (у нашому прикладі ) і доповнювати їх деякими зручними для обчислень числами. Використовуючи останню рівність, дістаємо:

Можемо записати

.

Інтегруємо:

.

У останніх прикладах наведені два різних метода для визначення невідомих коефіцієнтів формули (5.3). При розв’язуванні прикладів можна використовувати або один з них, або комбінувати обидва.