Чернігівський державний педагогічний університет імені Т.Г. Шевченка

ОПІР МАТЕРІАЛІВ

Методичні вказівки до вивчення курсу з завданнями до самостійної роботи

Ч ернігів – 2009

ПЕРЕДМОВА

Опір матеріалів – один з основних розділів курсу машинознавства, який читається студентам загально технічних факультетів педінститутів. Його предмет – основи розрахунку на міцність (також на жорсткість і стійкість) деталей конструкцій, машин і механізмів.

Опір матеріалів займає проміжне положення між теоретичним і прикладними дисциплінами. З одного боку – ця наука використовує апарат вищої математики, теоретичної механіки, фізики, з іншого – широко спирається на експериментальні дослідження механічних властивостей матеріалів. Майбутній вчитель трудового навчання повинен вивчити цей курс не тільки за для загально інженерної ерудиції. Значення опору матеріалів потрібно для успішного оволодіння послідуючими дисциплінами навчальної програми (деталі машин, теорія різання і ін.). Крім того, ці заняття можуть бути використані безпосередньо на уроках трудового навчання для постановки нескладних лабораторних робіт з метою вивчення поводження матеріалів під дією різних деформацій.

В практичній діяльності вчителя трудового навчання, особливо в умовах сільської школи, може виникнути необхідність в розрахунку на міцність певних конструкцій (наприклад, невелика кран-балка, настінний поворотний кран, кронштейн та ін.). Розрахунки на міцність можуть знадобитись і при керуванні технічною творчістю учнів.

Курс опору матеріалів складається із трьох взаємопов’язаних частин – лекцій, лабораторних робіт і практичних розрахунків на міцність.

При виконанні лабораторних робіт студенти проводять механічні випробування в лабораторії з метою вивчення властивостей матеріалів, а також для експериментальної перевірки ряду теоретичних залежностей.

Успішне оволодіння курсом неможливе без виконання певного об’єму практичних розрахунків на міцність, тому студентам пропонують самостійні розрахунково-графічні роботи, які містять в собі розв’язок завдань, які приведені далі. Кількість завдань відповідає кількості тижнів в навчальному семестрі, тобто студент отримує одне завдання на тиждень. Кафедрою ЗТД організований щотижневий прийом завдань : до кінця семестру всі завдання повинні бути виконані і здані викладачу.

Студенти – заочники виконують контрольну роботу. Завдання на контрольну роботу вони отримують на літній сесії. Контрольна робота складається з ряду завдань: конкретно завдання для контрольної роботи вказує викладач. Заочники здають контрольну роботу особисто у зазначений час на одному з консультаційних пунктів.

Як показує досвід, студенти, які виконують розрахунково-графічні роботи, успішно здають екзамен з опору матеріалів.

Завдання 1

Для ступінчатого бруса (схеми рис. 1.3) потрібно:

1. Побудувати епюри повздовжніх зусиль і нормальних напруг .

2. Визначити переміщення вільного кінця бруса і побудувати епюру переміщень (абсолютних видовжень) ;

3. Визначити запас міцності в небезпечному перерізі бруса.

Дані взяти з табл. 1.1. Матеріал бруса – сталь, Е=2·10⁵ МПа.

Таблиця 1.1

Схема	а,м	в,м	с,м	FкН
1	2	3	4	5
0	1,0	1,0	1,0	50
1	0,5	1,0	1,0	70
2	1,0	0,5	1,5	100
3	0,5	1,0	0,5	120
4	1,0	0,5	0,5	80
5	0,5	1,0	1,5	100
6	1,0	2	0,5	60
7	0,5	1,5	0,5	100
8	0,5	1,0	0,5	120
9	1,0	1,5	1,0	80

Для всіх схем , матеріал сталь, , де – площі поперечного перерізу різних частин бруса.

Рис 1.3

Приклад розв’язання (рис. 1.4, а) : .

Для визначення повздовжніх зусиль використаємо метод перерізів.

Розсічемо в будь-якому місці перерізом 1-1, відкинемо ліву частину і розглянемо рівновагу залишеної правої, показаної на рис. 1.4,б (можна розглянути і ліву частину, але для цього потрібно знайти реакцію в опорі бруса).

Права частина знаходиться в рівновазі під дією зовнішньої сили і шуканого повздовжнього зусилля в перерізі 1-1, яке являє собою рівнодіючу внутрішніх сил в цьому перерізі (рис. 1.4,б).

Складаючи рівняння рівноваги, розглядуваної частини бруса, отримуємо:

Те, що з рівняння рівноваги отримане додатне значення сили , означає, що напрямок дії цієї сили було вибрано вірно. Як видно з рис. 1.4,б, сила діє з тіла, тобто викликає деформацію розтягу.

Слово епюра означає креслення на площині. В даному випадку потрібно побудувати таке креслення (графік), який показував би, як змінюється повздовжнє зусилля по довжині бруса і дозволяв би визначити це зусилля в будь-якому поперечному перерізі.

Для побудови епюри проводимо під брусом вісь епюри паралельно вісі бруса, під розглядуваним перерізом 1-1 перпендикулярно вісі в вибраному масштабі відкладаємо встановлене раніше повздовжнє зусилля в цьому перерізі (рис. 1.4,в)

Таким же чином можна визначити повздовжнє зусилля в будь-якому іншому перерізі.

Однак в даному випадку очевидно, що де б ми не розітнули брус на ділянці ВD, при розгляданні правої відсіченої частини рівняння рівноваги буде одним і тим же (у всіх випадках на відсічену частину буде діяти тільки одна зовнішня сила F). Отже, на цій ділянці повздовжня сила постійна.

Графік постійної величини – пряма лінія, паралельна вісі абсцис. Проводячи через вершину відкладений під перерізом 1-1 ординати таку пряму і штрихуючи креслення вертикальною штриховкою, отримуємо епюру повздовжніх сил на ділянці ВD бруса (рис. 1.4,в).

Рис 1.4

Слід встановити правило знаків при побудові епюри . Можливі два випадки дії осьових сил (рис. 1.5). перший випадок (розтяг) умовились вважати додатнім, а другий (стиск) – від’ємним. Додатні ординати відкладають вверх від вісі (як на ділянці ВD), а від’ємні вниз. Слід пам’ятати, що знак на епюрі не завжди співпадає зі знаком зусилля, отриманим з рівняння рівноваги. Останній означає лише, вгадано чи ні напрямок зусилля, яке визначається з рівняння рівноваги. Часто студент припускається типової помилки : отримавши з рівняння рівноваги від'ємне значення зусилля в перерізі, він і на епюрі відкладає під цим перерізом від'ємну ординату. Але це правильно не завжди. Отримавши з рівняння рівноваги від'ємне значення зусилля, слід змінити напрямок вектора цього зусилля на протилежне і поглянути, яка в цьому випадку виникнення від дії цього вектора у відрізаній частині деформація. Знак на епюрі буде від'ємним тільки тоді, коли зусилля, як підкреслювалось, викликає стиск.

Рис. 1.5 Рис. 1.6

Щоб знак зусилля, отриманий з рівняння рівноваги, завжди співпадав зі знаком цього зусилля на епюрі, необхідно з самого початку прикладати вектор ще невідомого зусилля в перерізі так, якби він викликав розтяг, тобто з тіла. Якщо напрямок не вгадано, то рівняння рівноваги дасть для цього зусилля від'ємний знак, але цей від'ємний знак завжди приведе до такої зміни напрямку вектора зусилля, яке викликає в тілі деформацію стиску. Отже, і на епюрі ордината цього зусилля буде від'ємною.

Питання про знаки епюри докладно розглянуте тому, що студенти часто в цьому місці припускаються помилки.

Потім проводимо переріз ІІ-ІІ. Відрізана цим перерізом частина бруса і прикладені до неї сили показані на рис. 1.4,г. Як і зусилля , зусилля визначається з рівняння рівноваги для відрізаної частини бруса:

Ті ж міркування, що і для частини бруса ВD, показують, що повздовжнє зусилля вздовж частини АВ постійне. Тому епюра на цій ділянці будується так же, як і на ділянці ВD (див. рис. 1.4,в). Оскільки невідоме зусилля при складанні рівняння рівноваги було прийнято додатнім (розтягаючим), отриманий для нього з цього рівняння від'ємний знак показує, що воно діє в зворотному напрямку (в тіло) і викликає деформацію стиску. Зусилля, яке викликає стиск, при побудові епюри вважається від'ємним, тобто в даному випадку знак повздовжнього зусилля, отриманий з рівняння рівноваги співпадає зі знаком цього зусилля, прийнятим при побудові епюри , тому що початкове невідоме зусилля було прийняте додатнім (розтягуючим).

Епюра нормальних напружень повинна показати, як змінюються нормальні напруження по довжині бруса і чому вони дорівнюють в різноманітних поперечних перерізах.

Нормальні напруження визначаються в будь-якому поперечному перерізі за формулою:

де – повздовжня сила в цьому перерізі, – площа перерізу.

Тому, побудувавши епюру і знаючи площу перерізу різних частин бруса, легко побудувати епюру . Наприклад, в перерізі 1.1:

σ.

Епюра будується так, як і епюра . Значення напружень в вибраному масштабі відкладаються перпендикулярно вісі цієї епюри. Додатній силі відповідають додатні (розтягуючі) напруження , і навпаки. Епюра розміщується зазвичай під епюром (рис. 1.4,д).

Слід звернути увагу на те, що ділянки на епюрах і можуть не співпадати по довжині. Наприклад, повздовжня сила однакова в перерізах ділянки бруса ВD, а нормальні напруження – тільки на довжині СD, так як на частині, що залишилася, ділянки ВD (ділянка ВС) при тій же повздовжній силі площа поперечного перерізу буде інша.

На ділянці ВС:

На ділянці АС:

.

Епюра наглядно показує, де діють найбільші напруження, яка ділянка (або переріз) знаходиться в небезпечному стані. В даному випадку це ділянка АВ (рис. 1.4,д).

Епюра переміщень (повздовжніх видовжень) показує повздовжні переміщення різних перерізів бруса, викликані його деформацією.

Як відомо, абсолютне видовження бруса визначається за формулою Гука:

(1.2)

Для бруса на рис. 1.1,а крім того, цей брус має постійну по довжині площу перерізу.

Якщо ж брус, як в прикладі який розглядаємо, має змінні по довжині повздовжню силу і площу для визначення його абсолютного видовження (або переміщення вільного кінця бруса) неможна. Для вирішення задачі слід розбити брус на такі частини, щоб в межах кожної з них були постійні і повздовжня сила і площа перерізу: тоді для визначення абсолютного видовження кожної з частин можна використовувати формулу (1.2). Абсолютне ж видовження всього бруса (переміщення його вільного кінця) отримується додаванням абсолютних видовжень його частин.

У відповідності до сказаного розбиваємо брус на три частини: АВ, ВС, СD.

Спочатку визначимо абсолютне видовження частини АВ. На епюрі видно, що на цій ділянці бруса діє стискаюча сила

Отже:

.

Це означає що ділянка АВ скоротилася на величину і переріз В, перемістився вліво від свого попереднього положення на 0,05см.

Будуємо епюру на цій ділянці. Проводимо вісь епюри паралельно вісі бруса і під перерізом В у вибраному масштабі відкладаємо перпендикулярно вісі переміщення перерізу В (абсолютне видовження ділянки АВ (рис. 1.4,е).

Переріз А закріплений і не переміщається, тобто його переміщення рівне 0. З'єднуючи отримані точки прямою отримаємо епюру переміщень на ділянці АВ. Підставою для з'єднання цих точок прямою є те, що в формулі (1.2) залежність між і лінійна.

Тепер визначимо видовження ділянки АС бруса (переміщення перерізу С).

Очевидно, що:

З епюри виходить, що на ділянці ВС діє розтягуюче зусилля , площа перерізу на цій ділянці .

Тому:

Це означає, що ділянка АС скоротилась на 0,025см. Під перерізом С відкладаємо від вісі епюри в масштабі відповідну ординату і з’єднуємо її вершину з вершиною ординати під перерізом Д.

Аналогічно визначаємо переміщення перерізу Д:

.

Отже, весь брус видовжився на 0,025 см і його вільний кінець,т. Д, перемістився вправо на цю ж величину.

З побудови епюри слідує, що кожна ордината цієї епюри в певному масштабі представляє переміщення відповідного їй поперечного перерізу бруса вздовж його вісі (вліво чи вправо).

При визначенні повздовжніх зусиль, які діють на окремих ділянках бруса, слід сприймати значення цих зусиль з епюри , пам’ятаючи, що в цих значеннях відбита сумарна дія зовнішніх навантажень на даній ділянці. Наприклад, подумки виділимо ділянку бруса, розсікаючи його в т. А (дуже близько від закріпленя) і дуже близько зліва від т. В і відкидаючи відповідно ліву і праву частини (рис. 1.6). З епюри  виходить, що в цих перерізах діють однакові стискаючі зусилля .

Направляючи вектори цих зусиль, як стискаючих, в тіло, отримаємо зображення силового навантаження цієї частини бруса.

Так можна показати і положення будь-якої іншої ділянки.