Завдання 7
У балок,
схеми яких представлені на рис. 6.13,
виконати перевірку міцності по нормальним
напруженням. Розрахунок вести для
випадків балок прямокутного та
коробчастого перерізів (рис. 6.14). Балку
прямокутного перерізу перевірити також
по дотичним напруженням. Матеріал балок
– сталь
Дані
для розрахунку взяти з
таблиці
6.1. Примітка:
у коробчастого перерізу:
.
Рис. 6.14
Таблиця 6.1
-
Схема
а1
b1
М, кНм
F, кН
В
Н
М
см
0
1
1
20
20
10
20
I
1,5
1
30
10
12
18
II
1
1,5
40
20
8
20
III
1,5
0,5
20
10
12
22
IV
1,5
1,5
20
15
10
24
V
1
2,5
40
20
14
20
VI
1,5
1,5
30
30
12
16
VII
1,5
0,5
20
20
10
14
VIII
2
1
40
25
12
20
IX
1
1,5
40
30
8
18
Рис. 6.13
Приклад роз’вязання (схема балки показана на рис. 6.15), F=20кН, М=40кНм; В=10см, Н=20см.
Для основного розрахунку по нормальним напруженням необхідно знайти переріз балки, в якому діє максимальний згинаючий момент. Для розрахунку по дотичним напруженням необхідно знайти переріз з максимальною поперечною силою. Тому розпочати розрахунок необхідно з побудови епюр Q та М, по яким можна знайти максимальні значення вказаних величин. Епюра Q може також бути необхідною для контролю правильності побудови епюри М.
Як неодноразово зазначалося, силові фактори в перерізі можуть бути знайдені за допомогою методу перерізів.
Рис. 6.15
Проводимо довільний переріз І-І (рис. 6.15а), відкинемо праву частину і розглянемо рівновагу лівої частини (рис. 6.15б). Оскільки переріз довільний позначимо його текучою координатою Z1, напрямок вісі Z виберемо вправо, початок відліку Z – на вільному кінці балки. Частина балки, що розглядається, знаходиться в рівновазі під дією прикладеної до неї сили F, силових факторів в перерізі Qх і Мu1. Величини Qх та Мu1 визначаються з рівнянь рівноваги:
.
Суму моментів зручно брати відносно центру ваги перерізу (на схемі рис.6.15б точка О1), так як в цьому випадку з рівняння виключається сила Qх1. Тут необхідно відмітити, що отримані вирази для Qх1 та Мu1 будуть справедливі тільки в тому випадку, якщо переріз проведений на ділянці балки від вільного кінця до точки прикладання сили 2F і зовнішнього моменту m. Якщо ж переріз провести за вказаною точкою, на другій вантажній ділянці, то на ліву від перерізу частину балки буде діяти більша кількість зовнішніх силових факторів. Рівняння рівноваги матиме інший вигляд і, отже, Qх2 і Мu2 на цій ділянці будуть мати інші значення. Тому координата z1, яка визначає розташування перерізу І-І може змінитися лише в межах 0≤z1≤1. Отримане значення Qх1=F=20кН означає, що на цій ділянці поперечна сила є величина постійна. Отже, її епюра буде являти собою пряму, яка паралельна вісі епюри. Вираз же є функція від z1 в першій степені. Отже, графічно ця залежність на епюрі М буде представлена похилою прямою. Для побудови якої достатньо мати дві точки значення М для двох будь-яких перерізів на даній ділянці. Однак, перш ніж будувати епюри необхідно домовитися про правило знаків для Q і М на епюрах. Як і при деформаціях, що розглядалися раніше (розтяг, кручення), при згині може бути два випадки деформування від дії силових факторів Q і М.
Для Q домовимося додатнім вважати лівий випадок (рис. 6.16а), коли Q зсуває ліву від перерізу частину вниз, а праву – вгору. Для моменту, додатнім вважається випадок, коли момент згинає відрізану частину балки випуклістю вниз (рис. 6.16а). По аналогії з побудовою епюр N та Т, необхідно підкреслити, що знаки Q і М, отримані у відповідності до приведених правил можуть не співпадати зі знаками отриманими з рівнянь рівноваги. Для того, щоб такий збіг мав місце, необхідно перед складанням рівнянь рівноваги для відрізаної частини бруса силові фактори в перерізі (поки що невідомі) прикладати у відповідності з приведеними до них правилом знаків. Зрозуміло, їх можна прикладати і довільно, але тоді отриманий з рівняння рівноваги для Q чи М знак “–“ буде означати, що даний силовий фактор в дійсності діє в протилежному напрямку. Його напрямок на рисунку необхідно змінити і після цього, по схемі рисунка 6.16, встановити його знак на епюрі.
Рис. 6.16
В даному прикладі в перерізі І-І обидва силових фактори прикладені в додатному напрямку (за правилом знаків для епюр – ліва частина зсувається вниз, згин від Мu1 – випуклістю вниз), і тому отримані для них з рівнянь рівноваги додатні значення справедливі і при побудові епюр.
Оскільки Qх1 – величина постійна, під перерізом І-І вверх від вісі відкладаємо в певному масштабі відрізок, що дорівнює Qх1=10кН і через його кінець проводимо пряму, паралельну вісі епюри (див. рис.6.15д).
Для побудови на цій ділянці епюри М достатньо отримати дві точки прямої, що визначають цю епюру, тобто значення моменту в двох будь-яких перерізах ділянки балки. Зазвичай зручно брати крайні перерізи ділянки.
При
,
тобто ця точка епюри лежить під вільним
кінцем балки на вісі епюри.
При
.
Відповідно, друга точка епюри має координати (1;20). Відкладаючи від осі ординату 20 кН, отримаємо на епюрі другу точку; з’єднуючи її з першою точкою (0;0), отримаємо епюру моментів на першій ділянці (рис. 6.15в).
Далі проводимо довільний переріз ІІ-ІІ на другій ділянці. Цей переріз позначаємо координатою z2, початок відліку якої як і z1, приймаємо від вільного кінця балки.
Знову розглянемо ліву відрізану частину (див. рис. 6.15г). Можна розглядати і праву частину, але до неї прикладені реакції опори, які нами не визначені. Ліва частина балки знаходиться в рівновазі під дією зовнішніх силових факторів F, 2F, m і внутрішніх силових факторів Qх2 і Мu2, які зручно прикладати як додатні за правилом знаків, прийнятому при побудові епюр (див. рис. 6.16б).
Рівняння рівноваги:
Звідси:
Ці рівняння не змінюються, якщо текуча координата z2 буде мінятися в межах 1≤z2≤2, при початку відрахунку її від вільного кінця балки.
Тобто, де б ми не провели на визначеній цими межами ділянці балки переріз, на ліву відрізану частину будуть діяти все ті ж зовнішні силові фактори: F, 2F, m, і рівняння рівноваги не зміниться.
З отриманих виразів випливає, що Q і на другій ділянці величина постійна. Відклавши під перерізом ІІ-ІІ від’ємну (вниз від вісі) ординату в прийнятому масштабі рівну –20кН закінчуємо побудову епюри Q (див.рис.6.15д).
Оскільки у вираз для Мu2, z2 входить в першій степені, залежність тут також прямолінійна, для її побудови достатньо 2-х точок. Визначаємо моменти для граничних перерізів ділянки:
При
;
При
Відкладаючи під відповідними перерізами в прийнятому для епюри М масштабі величини моментів в цих перерізах і з’єднуючи кінці ординат прямою, закінчуємо побудову епюри моментів для балки (див.рис.6.15в).
Необхідно відмітити, що у студентів досить часто виникають затруднення у правильному визначенні меж зміни текучої координати на даній ділянці. Тут необхідно чітко уявити, що початок відліку її може бути прийнятий в будь-якій точці, але при цьому змінюються межі. Також буде мінятися і вигляд рівнянь рівноваги, а епюри силових факторів залишаться без змін. Наприклад, в нашому випадку ми могли б взяти за початок відліку z2 не від вільного кінця білки, а від перерізу між ділянками (див.рис.6.15в). В цьому випадку межі зміни z2 були б 0≤z2≤1, але і рівняння рівноваги відрізаної частини мало б вигляд:
Однак, при
;
при
Тобто результат вийшов такий же як і в попередньому випадку, вигляд епюри М не змінився.
Проведемо розрахунок балки на міцність по нормальним напруженням.
Умова
міцності:
По епюрі М визначаємо, що максимальний момент діє посередині балки, в перерізі дуже близько з права від точки прикладання сили 2F і моменту m, і дорівнює 60кНм.
Для прямокутного перерізу:
,
Для
коробчастого перерізу:
.
Отже, і у випадку прямокутного перерізу, і у випадку коробчастого перерізу, балка умові міцності відповідає. Причому, необхідно звернути увагу на те, що значне зменшення площі перерізу балки і, отже, зниження її ваги, у випадку коробчастого перерізу, дуже мало відобразилося на зменшенні її міцності. Це відбулося тому, що площа була прибрана в районі нейтральної вісі перерізу, в зоні дії незначних нормальних напружень, де метал недовантажений і значного впливу на міцність балки не завдає.
Проведемо перевірку міцності по дотичним напруженням.
По епюрі
Q
видно, що сила Q
однакова по величині у всіх перерізах
балки. Всі її перерізи рівнонебезпечні
при розрахунку по дотичним напруженням
.
Умова
міцності:
.
Для
прямокутного перерізу:
Отже, і по дотичним напруженням балка умову міцності задовольняє, причому з дуже великим запасом.