Завдання 6

Для стержнів круглого поперечного перерізу, схеми яких показані на рис.5.8, необхідно:

• побудувати епюри крутних моментів Т, максимальних дотичних напруг τ_max і кутів закручення φ;

• визначити, чи задовольняє стержень умовам міцності і жорсткості.

Матеріал стержнів – сталь. G = 0,8·10⁵ МПа = 0,8·10⁴ кН/см².

Для всіх стержнів прийняти діаметр більшого перерізу d₁=10см, діаметр меншого – d₂=5см.

[τ] = 100 мПа, . Решту величин взяти з табл.5.1.

Таблиця 5.1

Схема	а1	b1	c1	T, кНм
	м
0	I	1	1	2
I	1,5	1	0,5	3
II	0,5	1	1,5	1
III	1	2	1	1,5
IV	2	2	1	2,5
V	1	2	2	3,5
VI	0,5	0,5	1	1,5
VII	1	0,5	1	1,0
VIII	2	1	2	2,0
IX	0,5	1,5	0,5	3,0

Рис 5.8

Приклад розв’язання (див. схему рис.5,9а).

а) Будуємо епюру крутних моментів.

Для визначення моменту в довільному перерізі, наприклад I-I, подумки відкинемо ліву відрізану частину і розглянемо рівновагу правої частини стержня (рис. 5.9б). На рис. 5,9б Т_І – момент, який є рівнодіючою внутрішніх сил пружності, які представляють дію відкинутої частини, кНм. Як зазначалося, інші складові рівнодіючих внутрішніх зусиль в даному випадку відсутні.

Рис.5.9

З умови рівноваги маємо:

Очевидно, що де б ми не розітнули брус на ділянці BD, див. рис. 5.9а, рівняння рівноваги від цього не зміниться і, отже, на цій ділянці момент є величина постійна.

Графік постійної величини – пряма, паралельна вісі абсцис. Як і при побудові епюри N (див. завдання 1), проводимо перпендикулярно вісі у вибраному масштабі відрізок рівний Т_І = 2 кНм, через кінець відрізка проводимо лінію епюри паралельно вісі і штрихуємо вертикальною штриховкою. Отримана на ділянці BD епюра Т (рис. 5.9в) показує, що крутний момент на цій ділянці постійний.

Необхідно домовитись про правило знаків крутного моменту на епюрі. Як і у випадку розтягу, при крученні можливі два випадки деформування (рис. 5.10). Домовимося випадок “а” (лівий кінець стержня повертається від нас, а правий – до нас) вважати додатнім, а випадок “б” – від’ємним.

Рис. 5.10

Як і при розтягу, необхідно пам’ятати, що на епюрі знак моменту визначається саме цим правилом, а знак, отриманий з рівняння рівноваги співпадатиме з ним лише тоді, коли ще невідомий момент в перерізі при складанні рівняння прикласти як додатній у відповідності до правила знаків.

Далі розрізаємо стержень перерізом ІІ-ІІ. Відрізана частина показана на рис. 5.9г. Рівняння рівноваги для цієї частини матиме такий вигляд:

Як і в попередньому випадку, величина постійна на ділянці АВ. Відкладаємо від’ємну величину моменту вниз від осі. Цим ми завершуємо побудову епюри крутного моменту (рис. 5.9в).

б) Будуємо епюру дотичних напружень , Мпа.

Максимальне дотичне напруження визначається за формулою (5.2).

для кола

В перерізі І-І.

Таке максимальне напруження буде діяти у всіх перерізах на ділянці CD, оскільки на цій ділянці у всіх перерізах однаковий крутний момент і діаметр. Виходячи з цього будуємо епюру на ділянці CD (рис. 5.9д).

На ділянці BC при такому ж значенні крутного моменту Т_І = 2 кНм діаметр в два рази більший d₁ = 10 cм. Тому у всіх перерізах на цій ділянці дотичне напруження буде дорівнювати:

На ділянці АВ у всіх перерізах дотичне напруження буде:

Епюри дотичних напружень зображені на рис. 5.9д.

в) Будуємо епюру кутів закручування ( кут повороту перерізу).

Як зазначалося, якщо стержень постійного перерізу закручується постійним по всій довжині моментом, то кут закручування цього стержня визначається за формулою:

В даному ж прикладі стержень має на різних ділянках різні діаметри і різний крутний момент. Тому для визначення кута повороту кінцевого перерізу стержня (торця) і побудови епюри кутів закручування необхідно розбити стержень на такі ділянки, щоб на кожному з них був постійний діаметр і постійний момент.

Це дозволить використовувати для кожної частини приведену формулу для визначення кута закручування.

Повний же кут закручування стержня (поворот його торця) визначається, як сума кутів повороту на довжині кожної частини.

В прикладі, що розглядається, стержні слід розбити на три ділянки: AB, BC, CD.

Кут закручування на довжині АВ:

Кут закручування ми отримали в радіанах. Щоб отримати в градусах необхідно отримане значення помножити на .

Отже, переріз В повернувся відносно нерухомого перерізу А (або відносно свого початкового положення) на кут φ_BA = -0,00025 рад = - 0,014^о.

В нашому випадку ділянка АВ закручується від’ємним крутним моментом, при якому правий кінець стержня обертається від нас, (див. рис. 5.9в). Отже, переріз В повернувся, від нас на кут –0,014^о.

Під перерізом В відкладаємо від вісі епюри в певному масштабі від’ємний кут φ_BA= –0,014^оі з’єднуємо кінець ординати з нулем під перерізом А (поворот цього перерізу дорівнює нулю).

Епюра φ в даному випадку прямолінійна, так як у формулу для визначення φ довжина l входить в першому степені.

Далі визначаємо поворот перерізу С.

Відкладаємо перпендикулярно до вісі епюри в прийнятому масштабі із урахуванням знаку під перерізом С кут повороту цього перерізу (рис.5.9е). Нарешті, визначаємо кут закручування всього стержня φ_DA (тобто кут повороту торця стержня).

Кут закручування торця бруса вийшов додатнім, тобто торець повернувся, до нас, на кут φ_DA = 0,0215 рад.

Слід звернути увагу на переріз F. Як видно з епюри, поворот перерізу F=0, тобто переріз залишається нерухомим.

Перерізи, розташовані зліва від F, повертаються від нас, а розташовані справа – до нас. Величину кута повороту кожного перерізу у вибраному масштабі показує розташована під цим перерізом ордината епюри φ.

Перевіримо стержень на міцність і жорсткість.

Як видно з епюри τ_max найбільш напруженою ділянкою стержня є ділянка CD, у всіх перерізах якої діють найбільші дотичні напруження τ_max = 80мПа.

Допустимі ж дотичні напруження [τ_max = 100МПа], отже умова міцності виконується, τ_max<[τ].

Перевірка жорсткості валу ведеться по величині – куту закручування, який приходиться на одиницю довжини, і не повинен перевищувати допустимого значення цієї величини .

Як видно, на епюрі φ, на різних ділянках відношення взаємного кута закручування крайніх перерізів даної ділянки до її довжини дорівнює тангенсу кута нахилу лінії епюри φ на цій ділянці. Тому відношення буде більшим на тій ділянці, де лінія епюри нахилена до вісі епюри під більшим кутом, тобто розташована більш круто.

В даному прикладі це ділянка CD, на якій:

Отже, умова жорсткості не виконується.