Высшая математика 1курс 2семестр(Вариант №4)

124. Найти производную данных функций:

а)

б)

в)

г)

Прологарифмируем обе части уравнения и преобразуем равенство Прологарифмируем обе части равенства

д) Дифференцируем обе части равенства, учитывая, что у есть функция от х, получим

или

134. Найти и

a)

б)

Получаем

Получаем

144. Из полосы жести шириной 11 см требуется сделать открытый сверху желоб, поперечное сечение которого имеет форму равнобедренной трапеции. Дно желоба должно иметь ширину 7 см. Какова должна быть ширина желоба наверху, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?

b

a

h

x

Т.к. в сечении желоб представляет собой равнобедренную трапецию, то для того чтобы желоб вмещал наибольшее количество воды необходимо, чтобы S трапеции была наибольшей. Sтрапеции=

По условию а=7 см, боковые стороны трапеции (11-7)/2=2 см.

Высоту находим по теореме Пифагора , b= 7+2х, тогда

S(х)=, х

Найдем производную функции

S´(х)=

Для нахождения точек экстремума решим уравнение S´(х)=0

х₁=-4 х₂=0,5, т.к. по условию х, то корнем является только х₂=0,5

S(х)

+

-

0,5

S(х)

х=0,5 точка максимума функции, значит. наибольшую площадь трапеции получаем (и наибольшее количество воды в желобе при х=0,5, ширина желоба на верху b=7+2x=8 см

Ответ: 8 см.

154. Провести полное исследование функции и построить ее график

1) Область определения D(y)=

2) Т.к. область определения не симметрична относительно начала координат, то функция не является ни четной, ни нечетной.

3) Точки пресечения с осями координат

с Ох : у=0 х=0,5 т.(0,5; 0)

с Оу: х=0 у= -1 т. (0;-1)

4) Асимптоты

Т.к. точка разрыва 1, то находим пределы

прямая х=1 вертикальная асимптота

у=0 горизонтальная асимптота

Проверим, существует ли наклонная асимптота

, т.е. наклонной асимптоты нет.

5)Промежутки возрастания, убывания, точки экстремума

у

=0 х=0 критическая точка

-

-

+

0

1

у

точка разрыва

min

Функция возрастает на промежутке (0;1) и убывает на промежутках (-∞;0) и (1;+ ∞), х=0 точка минимума у(0)= -1, х=1 точка разрыва функции

6) Выпуклость, вогнутость функции

=0 при х=-0,5, т

y''

у

+

+

-

1

-0,5

Функция вогнута на промежутках (-0,5;1) и (1; +∞) и выпукла на промежутке (-∞;-0,5)

По результатам исследования функции строим график.

164. Дана функция . Показать, что

Найдем

, что и требовалось показать.

174. Даны функции и две точки А(1,3) и В(0,95;2,94). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значений z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции её дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(х₀,у₀,z₀).

1)

2) Будем рассматривать z(B) как частное значение функции при x = 0.95 = x₁, у = 2.94 = у₁. За x₀ принимаем число 1, за у₀ –число 3.

Тогда z(x₀,y₀) = ;

Переведём dx в радианы dx = x₁ – x₀ = 0,95-1=-0,05,

dy = y₁ –y₀ = 2,94-3= -0,06

Тогда получим:

 z(x₀,y₀) +(x₀,y₀)dx+(x₀,y₀)dy=-4-10*0.05+4*0.06=-1.26

Оценим погрешность: %

3) Составим уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(1,3,-1). Искомое уравнение имеет вид: .

184. Найти неопределенные интегралы (в случаях «а» и «б» проверить дифференцированием) :

а)

Проверим результат дифференцированием:

б)

Проверим результат дифференцированием:

в)

Разобьём дробь на множители:

г)

д)

194. Вычислить определённый интеграл:

204. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:

Интеграл расходится.

214. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой .

Сделаем чертёж

Контрольная работа

По высшей математике

Вариант 4

Студента ФЗО

Специальность: “Проектирование и производство

радиоэлектронных средств”

Группа: 900201

______________________

Обратный адрес:

____________________________

г. Минск

2009