Высшая математика 1 курс заочное 1 семестр 1 контрольная вариант 1,11,21,31

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Белорусский государственный университет

информатики и радиоэлектроники»

Специальность ИСиТвЭ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По курсу «Высшая математика »

Вариант № 11

Студент-заочник 1 курса

Группы: № 282324

ФИО: BET

Адрес:

Тел. 8 044

Минск 2012

Контрольная работа № 1

Задание 1.

Даны три комплексных числа и

1) выполните действия над ними в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

2) найдите расстояние между точками и на комплексной плоскости.

Решение задания 1.

1) выполните действия над ними в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

1. Вычислим в алгебраической форме

(a-b)⁴= a⁴-4a³b+6a²b²-4ab³+b⁴

Следовательно

(a-b)²=a²-2ab+b²

Следовательно

2. Представим заданные Z₁,Z₂,Z₃ в тригонометрической форме

Используем формулы

Получим

По формуле найдем значение

Подставим в

3. Представим заданные Z₁,Z₂,Z₃ в показательной форме

По формуле найдем значение

Примем экспоненты e равною своему алгебраическому значению ~ 2.7182

2) найдите расстояние между точками и на комплексной плоскости.

Расстояние между точками Z₁ и Z₃ есть модуль их разности

Задание 3

Решите систему уравнений тремя способами:

1) методом Крамера;

2) методом обратной матрицы;

3) методом Гаусса.

Решение задания 3.

1. Метод Крамера

Запишем систему в виде:

B^T = (-6,6,-4)

Найдем главный определитель:

∆ = 2 х (-1 х 1-(-1 х (-2)))-3 х (-2 х 1-(-1 х 1))+1 х (-2 х (-2)-(-1 х 1)) = 2 = 2

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₁ = -6 х (-1 х 1-(-1 х (-2)))-6 х (-2 х 1-(-1 х 1))+(-4 х (-2 х (-2)-(-1 х 1))) = 4

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₂ = 2 х (6 х 1-(-4 х (-2)))-3 х (-6 х 1-(-4 х 1))+1 х (-6 х (-2)-6 х 1) = 8

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

∆₃ = 2 х (-1 х (-4)-(-1 х 6))-3 х (-2 х (-4)-(-1 х (-6)))+1 х (-2 х 6-(-1 х (-6))) = -4

Ответ: найденные переменные: ; ; .

2. Методом обратной матрицы;

Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:

Вектор B:

B^T=(-6,6,-4)

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.

Найдем главный определитель.

∆=2•(-1•1-(-1•(-2)))-3•(-2•1-(-1•1))+1•(-2•(-2)-(-1•1))=2 ≠ 0

Транспонированная матрица

Вычислим алгебраические дополнения.

∆_1,1=(-1•1-(-2•(-1)))=-3

∆_1,2=-(-2•1-1•(-1))=1

∆_1,3=(-2•(-2)-1•(-1))=5

∆_2,1=-(3•1-(-2•1))=-5

∆_2,2=(2•1-1•1)=1

∆_2,3=-(2•(-2)-1•3)=7

∆_3,1=(3•(-1)-(-1•1))=-2

∆_3,2=-(2•(-1)-(-2•1))=0

∆_3,3=(2•(-1)-(-2•3))=4

Обратная матрица

Вектор результатов X

X=A^-1 • B

X^T=(2,4,-2)

x₁=⁴ / ₂=2

x₂=⁸ / ₂=4

x₃=^-4 / ₂=-2

Ответ: найденные переменные: x₁=⁴ / ₂=2; x₂=⁸ / ₂=4; x₃=^-4 / ₂=-2

3) методом Гаусса.

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Теперь исходную систему можно записать как:

x₃ = 6/(-3)

x₂ = [18 - ( - 5x₃)]/2

x₁ = [-4 - ( - x₂ + x₃)]/1

Из 1-ой строки выражаем x₃

Из 2-ой строки выражаем x₂

Из 3-ой строки выражаем x₁

Ответ: найденные переменные: x₁=2; x₂=4; x₃=-2

Задание 4

Даны три вектора и Докажите, что векторы образуют базис, и определите, какая это тройка векторов: правая или левая.

Решение задания 4.

Найдем смежное произведение векторов

Следовательно вектора некомпланарные и образуют базис, так как ≠-19, то тройка левая.

Ответ: вектора образуют базис , тройка левая.

Задание 5

Даны координаты вершин треугольной пирамиды Найдите:

1) угол между ребрами и

2) площадь грани

3) длину высоты, опущенной из вершины на грань

4) уравнение прямой, проходящей через ребро

5) уравнение плоскости, которой принадлежит грань

6) массу материальной треугольной пирамиды изготовленной из меди плотностью (считая, что 1 масштабная единица в системе координат равна 1 см).

Решение задания 5.

1. ) угол между ребрами и

Угол между векторами иможно найти по формуле:

где A₁B₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂

Найдем угол между ребрами AB и AD

γ = arccos(0.55) = 123.37⁰

Ответ: угол между ребрами 127,37 градуса.

2. ) площадь грани

Площадь грани можно найти по формуле:

где

Найдем площадь грани

Найдем угол между ребрами A₁A₂ и A₁A₃:

Площадь грани ABC=

Ответ: площадь грани равна 3,83 см².

3 .) длину высоты, опущенной из вершины на грань

Проекцию вектора b на грань b можно найти по формуле:

Найдем проекцию вектора A₄h на грань

Ответ: высота, опущенная из вершины на грань равна 1,34 см.

4 .) уравнение прямой, проходящей через ребро

Прямая, проходящая через точки A₁(x₁; y₁; z₁) и A₂(x₂; y₂; z₂), представляется уравнениями:

Уравнение прямой

; уравнение1

Ответ: уравнение прямой имеет вид «уравнение 1».

5 .) уравнение плоскости, которой принадлежит грань

Если точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Уравнение плоскости

(x-2)(2 • 2-(-3) • 1) - (y-1)((-1) • 2-1 • 1) + (z+3)((-1) • (-3)-1 • 2) = 7x + 3y + 1z-14 = 0

Ответ: уравнение плоскости, которой принадлежит грань имеет вид 7x + 3y + 1z-14 = 0

.

6 .) массу материальной треугольной пирамиды изготовленной из меди плотностью (считая, что 1 масштабная единица в системе координат равна 1 см).

Масса материальной точки определяется по формуле

,

где µ-плотность равная 8,9 г/см³, V-объем

Следовательно m=8.9x2.17=19.313 г

Ответ: масса материальной треугольной пирамиды равна 19,313 грамма.