Высшая математика - часть 1 [технические специальности] 1-курс КР-2 в-1

Вариант 1

Задача 51. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Решение.

Вычисляем главный определитель системы:

	3	4	2
D =	2	- 4	- 3	= 3×(-4 +15) - 4 × (2 + 3) + 2 ×(10 + 4) = 41 ¹ 0 , следовательно, система
	1	5	1

совместна и имеет единственное решение.

1) Метод Гаусса: выпишем расширенную матрицу системы и выполним над ее строками элементарные преобразования:

æ3 4

2

8 ö æ1 5

1

0 ö æ1 5 1

0

ö æ1 5 1

0 ö

ç

2

- 4

- 3

÷

ç

2

- 4

- 3

÷

~

ç

0 14 5

1

÷

ç

0 14 5

÷

~

ç

-1÷

~ ç

-1÷

ç

÷ ~

ç

1 ÷

ç

÷

ç

÷

ç

÷

ç

÷

è

1

5

1

0 ø

è

3

4

2

8

ø

è

0

11 1

- 8ø

è

0

0

41

123ø

æ1 5 1

0

ö æ1 5 0

- 3

ö æ

1 5 0

- 3ö

æ1 0 0

2 ö

ç

0 14 5

1

÷

ç

0 14 0

-14

÷

ç

0 1 0

÷

ç

0 1 0

÷

~ ç

÷ ~

ç

÷ ~

ç

-1÷ ~

ç

-1÷.

ç

÷

ç

÷

ç

÷

ç

÷

è

0 0 1

3

ø è

0 0 1

3

ø è

0 0 1

3

ø

è

0 0 1

3 ø

2) Алгебраические дополнения:

A11

= -4 +15 = 11

A12 = -(2 + 3) = -5

A13

= 10 +

4 = 14

A21 = -(4 -10) = 6

A22

= 3 - 2 = 1

A23 = -(15 - 4) = -11

Вычисляем:

A31 = -12 + 8 = -4 A32 = -(-9 - 4) = 13 A33 = -12 - 8 = -20

1

æ A11

A21

A31

ö æb1

ö

1

æ 11 6

- 4 ö

æ 8 ö

1

æ 88- 6 + 0 ö æ 2 ö

X = A−1B =

×ç A A A

÷

×çb

÷

=

×ç

-5 1 -13

÷

×ç-1÷ =

×

ç - 40-1+ 0

÷

= ç

-1÷.

÷

÷

D

ç

12

22

32

÷ ç 2

41

ç

ç

÷

41

ç

÷ ç

÷

ç

A23

÷ ç

÷

ç

14

-11

÷

ç

÷

ç

÷ ç ÷

è A13

A33 ø

èb3

ø

è

- 20ø

è

0

ø

è112

+11- 0ø

è

3 ø

Ответ.

x1 = 2, x2 = -1, x3

= 3.

Задача 61. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.

Решение.

Выпишем расширенную матрицу системы и выполним над ее строками элементарные преобразования:

1

æ1		4 - 3		6		0ö			æ1			4 - 3		6		0ö		æ1 4		- 3	6		0ö
ç	2	5 1		- 2		0	÷	~	ç	0		3	- 7	14		0	÷								~
ç							÷		ç								÷	~ ç						÷
																		ç	0 1	- 7 / 3 14 / 3			0	÷
ç	1	7	-10 20			0	÷		ç	0		3	- 7	14		0	÷	è						ø
è							ø		è								ø
	æ1 0 19 / 3 - 38 / 3										0ö
~ ç												÷.
	ç		-	7 / 3 14 / 3								÷
	è0 1										0ø

Так как ранг матрицы равен 2, то размерность данной системы уравнений равна 2. Общее решение системы:

ìx	= -		19		x	3	+		38	x	4	,
ï 1			3						3
ï
		7					14
ï
íx2	=			x3 -					x4	,
		3					3
ï
ïx3	- любое,
ï	- любое.
îx4

Находим базис:

- первый вектор получаем при x3 = 0, x4 = 3: v1 (38;-14;0;3), - второй вектор получаем при x3 = 3, x4 = 0 : v2 (-19;7;3;0).

Задача 71. Даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее x1′′, x′2′, x3′′ через x1, x2 , x3 :

Решение.

Матрицы преобразований:

- выражающего x1′, x′2 , x3′ через x1, x2 , x3 :

æ5		-1	3	ö
ç	1	- 2	0	÷	,
A = ç				÷
ç	0	7		÷
è			-1ø

- выражающего x′′, x′′

, x′′

через x′, x

′ , x′

:

1

2

3

1

2

3

æ2

0

1

ö

B =

ç

0

1

- 5

÷

ç

÷ .

ç

2

0

0

÷

è

ø

Матрица преобразования, выражающего x′′, x′′, x′′ через x , x

2

, x

3

:

1

2

3

1

æ2 0 1

ö æ5 -1 3 ö æ10 + 0 + 0 - 2 + 0 + 7 6 + 0 -1ö æ10

ç

0 1 - 5

÷

ç

1

÷

=

ç

0

+1+ 0 0

- 2 - 35 0 + 0 + 5

÷

ç

C = BA = ç

÷

×ç

- 2 0 ÷

ç

÷

= ç 1

ç

2 0 0

÷

ç

0 7

÷

ç

+ 0

-

2 + 0 + 0 6 + 0 + 0

÷

ç

è

ø è

-1ø è10 + 0

ø è10

ìx¢¢ = 10x + 5x

2

+ 5x

3

,

ï 1

1

Следовательно: íx2¢¢ = x1 - 37x2 + 5x3 ,

ï

+ 6x3 .

îx3¢¢ = 10x1 - 2x2

55ö

÷

-37 5÷ .

-2 6÷ø

2

Задача 81. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.

Решение.

Характеристическое уравнение:

				| A − λE |= 0
	æ2		19	30 ö		æ	1	0	0	ö
	ç	0	- 5	-12	÷	ç	0	1	0	÷	= 0
	ç				÷	- λç				÷
	ç	0	2	5	÷	ç	0	0	1	÷
	è				ø	è				ø
			2 - λ	19				30
			0	- 5 - λ			-12		= 0
			0		2		5 - λ

(2 - λ)((- 5 - λ)(5 - λ)+ 24) = 0 (2 - λ)(- 25 + λ2 + 24)= 0

(2 - λ)(λ2 -1)= 0

Корни этого уравнения – собственные значения матрицы: λ1 = -1, λ2 = 1 и λ3 = 2 .

Находим собственные векторы:
- для λ1 = -1 из системы:
ì3x -19y + 30z = 0,	ì3x -19 ×(- 3z)+ 30z = 0,		ìx = -29z,
ï	ï	= -3z,	ï
í- 4y -12z = 0,	Û íy		Û íy = -3z,
ï	ï	= -3z	ï
î2y + 6z = 0	îy		îz - любое.

При z = 1 получаем: v1 (- 29;-3;1).
- для λ2 = 1 из системы:
ìx -19y + 30z = 0,	ìx -19 ×(- 2z)+ 30z = 0,			ìx = -68z,
ï	ï		= -2z,	ï
í- 6y -12z = 0,	Û íy			Û íy = -2z,
ï	ï		= -2z	ï
î2y + 4z = 0	îy			îz - любое.
При z = −1 получаем: v2 (68;2;-1).
- для λ3 = 2 из системы:
ì-19y + 30z = 0,	ìy = 0
ï	ï	= 0
í- 7 y -12z = 0, Û íz
ï	ï	- любое.
î2y + 3z = 0	îx

При x = −1 получаем: v3 (1;0;0).

Ответ. Собственные значения: λ1 = -1, λ2 = 1, λ3 = 2 . Собственные векторы: v1 (- 29;-3;1), v2 (68;2;-1), v3 (1;0;0).

3

Задача 91. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм.

Решение.
Матрица преобразования:																																															5					2ö
																																										æ
																																				A = ç																				÷ .
																																										ç					2					2				÷
Характеристическое уравнение:																																										è														ø
																																			| A − λE |= 0
																																5 - λ																		2						= 0
																																	2														2 - λ
																													(5 - λ)(2 - λ)- 4 = 0
																																	λ2 - 7λ + 6 = 0
Корни этого уравнения – собственные значения матрицы: λ1																																																																= 1, λ2					= 6 .
Находим собственные векторы:
- для λ1 = 1 из системы:
ì4α + 2β = 0,									Û β = -2α .
í
î2α + β = 0
При α = 1 получаем: v1 (1;-2). Норма этого вектора: | v1 |=																																																																					=						.
																																																																		1+ 4						5
Нормированный вектор: e																								v					æ				1							- 2 ö
																		=					1					= ç									;										÷ .
																1					| v1					|			è				5									5					ø
- для λ2 = 6 из системы:
ì-α + 2β = 0,										Û α = 2β .
í
î2α - 4β = 0
При β = 1 получаем: v2 (2;1). Норма этого вектора: | v2																																																																|=							=						.
																																																																				4 +1						5
Нормированный вектор: e2																								v	2				æ				2									1 ö
																		=										= ç											;									÷ .
Замена координат:																						| v2				|			è				5									5					ø
																													ìx =											1					x					+		2							y ,
																													ï											5							1									5			1
																													í
																																										2														1
																													ï
																													ïy				= -									5						x1				+				5						y1.
Подставляем:																													î
æ		1							2					ö2		æ		1											2										öæ								2															1					ö			æ					2							1			ö	2
5×ç					x +								y	÷ + 4 ×ç										x		+								y ÷ç-																			x +													y	÷ + +2 ×ç-													x	+			y	÷ = 18
ç		5			1				5			1 ÷				ç		5							1				5				1						÷ç											5		1										5				1	÷			ç					5					1		5		1	÷
è														ø		è																							øè																												ø			è															ø
						5(x2 + 4x y + 4y2 )+ 4(x + 2y )(- 2x + y )+ 2(4x2 - 4x y + y																																																																2 )= 5×18
									1					1		1		1										1					1																	1						1											1			1			1		1
																																5x					2				+ 30y2 = 90
																																	1																	1
																																		x			2							+							y2								= 1
																																	1																			1
																														(3										)2									(					)2
																																				2																3
Ответ.					x2					+			y2				= 1 (эллипс).
					1									1
				(3			)2					(			)2
						2								3

4

Список использованных источников

1.Власов В.Г. Конспект лекций по высшей математике. - М.: Айрис, 1996.

2.Высшая математика: Общий курс: Учебник / А.В.Кузнецов, Л.Ф.Янчук, С.А.Мызгаева и др.; Под общей редакцией профессора А.И.Яблонского. - Мн.:

Выш. шк., 1993.

3.Дадаян А.А., Дударенко В.А. Алгебра и геометрия: Учеб. пособ. - Мн.: Выш. шк., 1989.

4.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики: Учеб. пособ. для вузов - М: Наука, 1989.

5