Задание 2
Даны четыре вектора
(3,-5,2),
(4,5,1),
(-3,0,-4)
и
(-4,5,-16)
в некотором базисе. Показать, что векторы
,
,
образуют базис, и найти координаты
вектора
в этом базисе.
Решение
Базисом в пространстве R3являются любые три некомпланарных вектора. Условием компланарности трех векторов является равенство их смешанного произведения нулю. Итак, находим:
Так как смешанное произведение
векторов не равно нулю, то векторы
некомпланарны и образуют базис.
Для вычисления
координат вектора
в этом базисе составим систему уравнений
в координатном виде:
Решим ее по формулам Крамера. Определитель Δ = –95.
Найдем определители
.
Имеем 
;
;
.
Значит,
.
Ответ:
Задание 12
Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4: А1(3,3,9), А2(6,9,1), А3(1,7,3), А4(8,5,8). Найти: 1) длину ребраА1А2; 2) угол между ребрамиА1А2 и А1А4; 3) угол между ребромА1А4и граньюА1А2А3; 4) площадь граниА1А2А3; 5) объём пирамиды; 6) уравнения прямойА1А2; 7) уравнение плоскостиА1А2А3; 8) уравнения высоты, опущенной из вершиныА4на граньА1А2А3. Сделать чертёж.
Решение
1. Находим координаты
вектора
= (6 – 3, 9 – 3, 1 – 9) = (3, 6, -8) и длину ребра
=
=
≈
10,44.
2. Угол между ребрами
и
вычисляется по формуле
из скалярного произведения.
,
= (8 – 3, 5 – 3, 8 – 9) = (5; 2; –1);
=
=
.
.
Поэтому
;
φ =
3. Угол между ребром
и плоскостью
- это угол между вектором
и его ортогональной проекцией
на грань
.
Вектор
перпендикулярен грани
,
что вытекает из определения векторного
произведения векторов
и
:
=
(1 – 3; 7 – 3; 3 – 9) = (–2; 4; –6).
Синус искомого угла θ равен
косинусу
между векторами
,
.
=
≈
≈ 0,1048.
θ = arcsin
≈
0,3010.
4. Площадь грани
равна половине модуля векторного
произведения векторов
и
,
на которых построена грань.
=
.
5. Объем пирамиды
численно равен одной шестой модуля
смешанного произведения векторов
,
,
:
6. Для составления уравнений
прямой
воспользуемся формулой
,
где
– координаты точки
,
- координаты точки
.
;
.
В таком виде уравнения прямой называются каноническими. Они могут быть записаны и в виде
или
,
т.е. уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей.
7. Для составления уравнения
плоскости
воспользуемся формулой
,
где
- координаты
,
- координаты
,
- координаты
.
;
;
(x – 3)
– (y – 3)
+ (z – 9)
=
= –4(x –3) + 34(y – 3) + 24(z – 9) = 0,
2(x – 3) – 17(y – 3) –12 (z – 9) = 2x – 6–17y +51 – 12z + 108 =
= 2x – 17y –12 z + 153= 0 – уравнение плоскости А1А2А3.
8. Искомые уравнения высоты
получим из канонических уравнений
прямой
,
где
- точка, лежащая на искомой прямой;
- координаты вектора
,
параллельного искомой прямой. При этом
в качестве точки
возьмем точку
,
а в качестве вектора
возьмем нормальный вектор плоскости
,
т.е.
.
Имеем:
.
9. Сделаем чертеж
Задание 22
Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А(3, 0), чем от оси ординат.
Решение
Обозначим произвольную точку искомой прямой линии М(х, у), P(0,y) – основание перпендикуляра из точки М к оси ординат.
Тогда по условию
|AM| = 2|PM|,
|AM| = 
=
;
|PM| = |x – 0|=|x|.
Значит,
= 2|x|.
Возведем обе части равенства в квадрат
х2 – 6x+9 +у2 = 4x2
3x2+6x–9– у2=0
Выделим полный квадрат по переменной x:
3(х2 +2x)– у2 –9 =0
3(х2 + 2x+1–1) –у2 – 9 = 0
3(х +1)2 –3 –у2 – 9 = 0
3(х +1)2–у2 = 12
= 1
Это каноническое
уравнение гиперболы с действительной
полуосью а =2 и мнимой полуосью b= 2
,
центром в точке С(-1,0)
Сделаем чертеж:
