ВМ. Третья часть. Вариант 4

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Факультет заочного и дистанционного обучения

Специальность: «Искусственный интеллект»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ № 3

ВАРИАНТ № 4

Близнюк Виктор Иванович

Группа: 801721

Зачетная книжка: 602401-04

Электронный адрес: [e-mail]

№344

xy' + y = sinx

y = u(x)·v(x)

y' = u'v + uv'

x·u'v + xuv' + uv – sinx = 0

v( xu' +u ) + xuv' – sinx =0

xu' + u = 0

=> ln u = - ln x

u = 1/x

xuv' – sinx = 0

v' – sinx = 0

dv = sinx dx

v = - cosx + e

peшение:

ответ:

№ 354

y'' - y' = 9x – однородное уравнение, y(0) = 0, y'(0) = 1

λ² - λ = 0

= 0 = 1

Общее решение y = +

Частное решение ищем в виде:

= (Ax + B)

(y*)' = A + 2(Ax + B) = (2Ax + A + 2B)

(y*)'' = 2A

4Ax + 4B + 4A – 2Ax – A – 2B = 9x

x | 2A = 9 => A=4,5

|2B + 3A = 0 => B = -1,5A = -6,75

y* = (4,5x – 6,75)

y= + + (4,5x – 6,75)

используем начальные условия:

y(0) = +

y' = + 2(4,5x – 6,75) + 4,5

y'(0) = - 13,5 +4,5 = -5 =>

y = 2,75 + 4

№ 364

= 0 => λ² - 2λ – 3 = 0, λ₁ = 3 , λ₂ = -1

при λ₁=3

-2γ₁ +4γ₂ = 0 γ₁ = 2 γ₂ γ₂=с₁

При λ₂ = -1

2γ₁ +4γ₂ = 0 γ₁ = -2 γ₂

Общее решение – линейная комбинация полученных частных решений

x = c₁x₁ + c₂x₂ = 2c₁ - 2c₂

y = c₂y₁ + c₂y_{2 =} c₁ + c₂

Ответ: x=2c₁ - 2c₂

y= c₁ + c₂

v0 = 10 км/ч t1 = ч v1 = 0.5 км/ч t2 = ч F2 = 2v

№374

v_x - ?

по 2-ому закону Ньютона:

F_c = ma

αv = ma, a =

– обозначим

γv =

γdt =

γt = => v=v₀

для t₁

­v₁ = v₀ => γ =

для t₂

v_{x =} v₀ ex (t₂) = 10 exp( = 3.7 км/ч

Ответ: v_x = 3,7 км/ч

№384

A(1,2), B(3,5)

Первый отрезок: x = 1

Второй отрезок: y = 5

Ответ: А = 42 +

№394

z=0; z=x²; 2x – y = 0; x + y = 9

V =

Объем тела

V = =

=

=

Ответ: V=526,5

№404

( x² + y²)² = a²( x² + 2y²)

Перейдем к полярным координатам:

x =ρ cosφ; y = ρ sinφ

ρ⁴ = a² ρ² ( cos²φ + 2sin² φ)

ρ² = a²( 1 + sin² φ)

ρ = a

φ

S = =

= = =

= a² a² =

= (3φ – | = )=

Ответ: S =

№414

3x + 2y + 3z = 6

γ = x – плотность

Найдем массу пирамиды

M = =

=

=

=

= =

=

№424

P: -x + 2y + 2z – 2 = 0

Поток векторного поля: П =

z = 1 + = =

т.к. cos (n₀, z)>0 , то n^-n

n₀ = ; dδ = dxdy =

П = = =

=

Ответ: -

№434

Вычислим rot

Поле потенциально:

U(x,y,z) =

U(M) =

Проверим соленоидальность поля

div F =

№444

=

Исследуем сходимость ряда используя интегральный признак Коши

f(x) = = (

= = ( - интеграл сходится и значит там ряд сходится

Ответ: сходится

№ 454

=

Область сходимости находим по принципу Даламбера:

R = = = =

Область сходимости ряда вся числовая ось

x

Ответ: x

№464

Разложим в ряд Тейлора вблизи

f(x) = f(

sin x² = x² - +

Так как отрезок интегрирования [0;1] находится внутри интервала сходимости данного ряда, то ряд можно почленно интегрировать

=

= - то для заданной точности можно ограничится первыми двумя членами ряда =0,272

Ответ: 0,272

№ 474

y' = 2 - xy ; y(0) = 0

Искомое решение ищем в виде ряда Тейлора:

Y (x) = y (0) + + +……

y' (0) = 2- 0·0 = 2

y'' = 2·y' – y - xy'

y''(0)= 2·2 – 0 - 0·2 = 4

y''' = 2(y')² + 2y'' – 2y' - xy''

y'''(0) = 24 + 24 – 4 = 12

первые три члена ряда отличных от нуля:

y(x) = 2x + 2x² + = 2x + 2x² +2x³

Ответ: y(x) = 2x + 2x² +2x³