ВМ_КР6
.docУЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Факультет заочного и дистанционного обучения
Специальность: Искусственный Интеллект
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ №6
Вариант №5
№1
285. Найти неопределенные интегралы (результаты в случаях “а” и “б” проверить дифференцированием).
а) б) в)
г) д)
Решение
a)
= –
Сделаем замену t = 2x, тогда
– = – = – + С
Рассмотрим :
Сделаем замену u = 1 – t2, тогда du = -2t dt, dt =
Следовательно
= = = + C
Произведем обратную замену:
+ C = + C
Вернемся к – = + + C
Произведем обратную замену:
+ = + + C
Проверим результат:
= =
б)
Сделаем замену u = x, dv = . Тогда du = dx. Найдем v:
v = = = = = =
= + С
Используем интегрирование по частям:
= = = + С
Найдем :
= = = = + С
Вернемся к
= + С = + С
Проверим результат:
= =
= = =
= = =
в)
Воспользуемся интегрированием рациональных функций:
- правильная рациональная дробь.
Тк то
= =
Приведем правую часть к общему знаменателю ():
=
=
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:
Откуда С = 0, D = , A = , B =
Подставим найденные коэффициенты в разложение и проинтегрируем его:
= =
= =
=
г)
Используем подстановку , тогда ,
Следовательно
Выделив целую часть, получим:
= +C
Сделаем обратную подстановку:
+C= +C
д)
Используем подстановку , тогда ,
Следовательно
Сделав обратную подстановку, получим:
=
№2
295. Вычислить определенный интеграл. Окончательный результат представить в виде приближенного числа, произведя вычисление с округлением до третьего десятичного знака.
Решение
Пусть u = x2, тогда du = 2x dx =>
= = = = (–) = ( 0,785 – 0)
= 0,393
№3
305. Вычислить интеграл с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
Решение
Поделим отрезок на десять равных частей:
Вычислим значения функции:
= y(0) = 1,414 = y() = 1,732
= y(0,157) =1,468 = y(0,314) =1,519
= y (0,471)=1,566 = y (0,628) =1,609
= y (0,785)=1,645 = y(0,942) =1,676
= y(1,099) =1,700 = y(1,256)= 1,718
= y (1,413)=1,728
Подставим полученные значения в формулу Симпсона:
0,052*(3,146+32,428+13,044) = 2,528136
№4
315. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Решение
= =0,26
Интеграл сходится.
№5
325. Вычислить площадь фигуры, ограниченной трехлепестковой розой r = 5 sin 3
Решение
Найдем область определения D(p):
При k = 0: и радиус вектор описывает один лепесток
При
Площадь всей фигуры будет равна 2*3 площади половины лепестка:
№6
335. Найти координаты центра тяжести однородной дуги одной арки циклоиды
Решение
Координаты центра тяжести дуги равны , где равно верхнему пределу интегрирования при котором длина дуги равна .
Найдем длину дуги:
L =
=
Т.к. функция периодична(), то
= = L
Также функция четная, следовательно
=2 = L
Следовательно
Найдем x и y центра тяжести:
Координаты центра тяжести однородной дуги одной арки циклоиды (3.14;2)