Контрольная работа №3 (1 курс 2 семестр) 20 вариант
.docxКонтрольная работа №3
Задание 1. Вычислите определенные интегралы.
10. а) б)
Решение.
===
==.
б)
Решение.
===
===.
Задание 2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделайте рисунок.
20.
Построим область
==
=.
Ответ: 16,5 кв. ед.
Задание 3. Найдите общие решения дифференциальных уравнений.
30. а) б)
Решение.
, .
Подстановка .
, , .
, , ,
, , ,
, – общее решение дифференциального уравнения.
б)
Решение.
Составим хараетеристическое уравнение
, – корни характеристического уравнения: , , .
Общее решение дифференциального уравнения
Задание 4. Решите задачу Коши при начальном условии
40.
Решение.
Подстановка: .
, .
Пусть .
, , , , .
, , , ,
– общее решение.
Решим задачу Коши
,
– частное решение.
Задание 5. Вычислите объем тела, ограниченного указанными поверхностями, с помощью:
1) двойного интеграла;
2) тройного интеграла.
50.
Решение.
Проекция тела на плоскость хОу
Определим объем тела:
1. ==
=.
2. ==
==.
Ответ: 1/6 куб.ед.
Задание 6. Даны векторное поле и две поверхности и Вычислите:
1) поток векторного поля через замкнутую поверхность σ, ограниченную поверхностями и в направлении внешней нормали;
2) циркуляцию векторного поля вдоль линии L пересечения поверхностей и в положительном направлении обхода относительно орта
60.
Решение.
1. Так как поверхность σ замкнута и нормаль внешняя, то для вычисления потока вектора через эту поверхность воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского.
.
Поток равен.
= =
= = .
2.
Найдем циркуляцию по формуле Стокса.
.
; ; .
=.
S – площадь проекции поверхностей и на плоскость (окружность радиуса 1 с центром в начале координат). .
Контрольная работа №4
Задание 1. Исследуйте сходимость числового ряда.
70.
Решение.
Найдем предел отношения
Следовательно, ряд расходится, так как не выполняется необходиный признак сходимасти .
Задане 2. Найдите радиус и область сходимости степенного ряда, установите тип сходимости (абсолютная, условная сходимость).
80.
Решение.
Рассмотрим ряд из модулей:
, .
Найдем радиус сходимости
Область сходимости: .
Иследуем сходимость ряда на концах интервала
, ряд расходится (по предельному признаку сраввнения, сравниваем с рядом ).
, – расходится.
Исследуем ряд на концах интервала
, –расходится.
, – знакочерезующийся ряд.
Воспольузуемся признаком Лейбница.
1-ое условие: – выполняется.
2-ое условие: – выполняется.
При – ряд сходится.
Область содимости:
Задание 3. Вычислите определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена.
90.
Решение.
Разложим функцию в степенной ряд
= .
= .
Тогда = =
==
Для вычисления интеграла достаточно 5-ть первых членов ряда (6-ой член ряде не провосходит величины 0,001):
.
Задания 4. На промежутке задана периодическая функция
1) постройте график функции;
2) разложите функцию в ряд Фурье;
3) постройте график суммы ряда Фурье.
100.
Решение.
Разложим функцию в ряд Фурье ,
где , .
Вычислим коэффициенты ряда Фурье , .
= =
= = = =
=.
= =
= =
= .
Тогда разложение функции в ряд Фурье имеет вид:
.
Задание 5. Разложите функцию в ряд Лорана в окрестности точки
110.
Решение.
.
Функция f(z) имеет в точке z = 2 полюс первого порядка, поэтому можно избавиться от этой особенности умножением этой функции на z – 2. Полученную таким образом функцию g(z) = (z – 2) f(z) мы разложим в ряд Тейлора по степеням z – 2.
.
Тогда
Задание 6. Вычислите заданный интеграл при помощи вычетов.
120.
Решение.
Контур интегрирования представляет собой окружность радиуса 3 с центром в точке .
Внутри контура находятся две изолированные особые точки подынтегральной функции и – простые полюса.
=.
==== 0.
====.
= = .
Задание 7. Найдите изображение заданного оригинала
130.
Решение.
.
По таблице изображений находим.