Контрольная работа №3-4 Высшая математика 5 вариант

3.Дифференциальное исчисление

125. Найти производную данных функций:

а)

б)

в)

г)

Прологарифмируем обе части уравнения и преобразуем равенство Прологарифмируем обе части равенства

д) Дифференцируем обе части равенства, учитывая, что у есть функция от х, получим

или

135. Найти и

a) у= ln ctg 4x

б)

Получаем

Находим

145. Сопротивление балки прямоугольного сечения на изгиб пропорционально произведению ширины этого сечения и квадрата высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром d, чтобы ее сопротивление на изгиб было наибольшим?

Пусть стороны прямоугольника, диагональ которого равна d, равна а и b. Сопротивление равно . Из прямоугольного треугольника выразим сторону а:

Сопротивление тогда равно

. Заметим, что b может изменяться от 0 до ∞. Найдём производную

. Решим уравнение –критические точки. Первая точка не подходит по условию. Исследуем на экстремум вторую точку. Найдём вторую производную : . Так как при выполняется условие , то в этой точке максимум функции. Значит, высота прямоугольника будет равна , а ширина . Тогда сопротивление на изгиб будет наибольшим.

155. Провести полное исследование функции и построить ее график

1) Область определения D(y)=

2) Т.к. область определения не симметрична относительно начала координат и

, то функция является четной.

3) Точки пресечения с осями координат

с Ох : у=0 х=0 т.(0; 0)

с Оу: х=0 у= 0 т.(0; 0)

4) Асимптоты

Т.к. точки разрыва -1;1, то находим пределы

Прямые х=-1 х=1 вертикальные асимптоты

Это значит, что у=1 горизонтальная асимптота

Проверим, существует ли наклонная асимптота

, т.е. наклонной асимптоты нет.

5)Промежутки возрастания, убывания, точки экстремума

=0 х=0 - критическая точка

-

+

у

1

0

у

-1

max

точка разрыва

точка разрыва

Функция возрастает на промежутках (-∞;-1), (-1; 0) и убывает на промежутках (0;1), (1; +∞) и (-1;0), при х=0 получаем точку максимума у(0)= 0

6) Выпуклость, вогнутость функции

Решаем уравнение =0. Это уравнение не имеет решений, след точек перегиба нет

По результатам исследования функции строим график.

165. Дана функция . Показать, что

Найдем

Что и требовалось показать.

175. Даны функции и две точки А(1,3) и В(0,96;2,95). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В, исходя из значений z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции её дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(х₀,у₀,z₀).

1)

2) Будем рассматривать z(B) как частное значение функции при x = 0.96 = x₁, у = 2.95 = у₁. За x₀ принимаем число 1, за у₀ –число 3.

Тогда z(x₀,y₀) = ;

Переведём dx в радианы dx = x₁ – x₀ =0,96-1= –0,04,

dy = y₁ –y₀ = 2,95-3= -0,05

Тогда получим:

 z(x₀,y₀) +(x₀,y₀)dx+(x₀,y₀)dy=1+11*(-0.04)-3*(-0.05)=0,71

Оценим погрешность: %

3) Составим уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(1,2,11). Искомое уравнение имеет вид: .

4. Неопределённый интеграл

185. Найти неопределенные интегралы (в случаях «а» и «б» проверить дифференцированием) :

а)

Проверим результат дифференцированием:

б)

Проверим результат дифференцированием:

в)

Разобьём дробь на множители:

г)

д)

195. Вычислить определённый интеграл:

205. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:

215. Вычислить площадь фигуры, ограниченной трёхлепестковой розой .

Сделаем чертёж