Контрольная работа №3 (ВМ 4 часть АСОИ)
.docxМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Факультет непрерывного и дистанционного обучения
Специальность: Автоматизированные системы обработки информации
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ №3
ВАРИАНТ №3
Группа
Зачетная книжка
Электронный адрес
563)Разложить данную периодическую функцию с периодом 2 в ряд Фурье на отрезке [-,]. Построить график суммы ряда, а также графики первых частичных сумм На отрезке [-,] функция задана формулой.
Решение.
Найдем коэффициенты Фурье данной функции:
.
;
,
.
Ряд Фурье функции :
в нашем случае будет иметь вид:
.
Т.к. функция непрерывна на интервалах и , то ряд Фурье сходится к функции в каждой точке этих интервалов. Поэтому знак «~» можно заменить знаком «=», для и . В точках , и ряд сходится к среднему арифметическому односторонних пределов функции в этих точках, т.е. Кроме того, т.к. при n – четных и при n – нечетных, то ряд Фурье можно записать в виде:
.
Построим график суммы ряда .
Построим графики частичных сумм ряда.
573)Доопределяя необходимым образом, заданную в промежутке (0, а) функцию f(х), получить для нее: а) ряд Фурье по синусам; б) ряд Фурье по косинусам.
Решение.
а) Доопределим функцию до нечетной функции
.
Т.к. функция g(x) – нечетная, то коэффициенты ее ряда Фурье аn = 0. Найдем
.
Тогда ряд Фурье по синусам функции g(x) будет иметь вид:
б) Доопределим функцию до четной функции
.
Т.к. функция h(x) –четная, то коэффициенты ее ряда Фурье bn = 0. Найдем
;
(n = 1, 2, …).
Тогда ряд Фурье по косинусам функции h(x) будет иметь вид:
.
Т.к. при n = 2k , а при n = 2k -1 , то этот ряд можно записать в виде:
.
583)Найти комплексную форму ряда Фурье периодической с периодом 2l функции f(х) и найти сумму полученного ряда в точке l, если:
Решение.
Найдем коэффициенты Фурье данной функции:
.
,
.
Ряд Фурье функции :
в нашем случае будет иметь вид:
.
В точке периодическая функция равная имеет разрыв. Поэтому ряд Фурье этой функции сходится в этой точке к среднему арифметическому односторонних пределов функции в этой точке, т.е.
.
593)Найти спектральную плотность S(ω) непериодического сигнала S(t), заданного формулой:
Решение.
Спектральную плотность S(ω) непериодического сигнала S(t) найдем по формуле преобразования Фурье:
.
599)Найти сигнал S(t) исходя из его спектральной плотности S(ω), если:
Решение.
Найдем сначала спектральную плотность функции
.
Найдем
;
.
Воспользуемся обращением свойства преобразования Фурье от n-ой производной: если , то . При n = 2 получим
.
Таким образом сигнал S(t) соответствующий его спектральной плотности S(ω) будет равен:
.
603) Методом Фурье найти уравнение u=u(x,t) формы однородной струны для любого момента t, если струна закреплена на концах х=0 и х=l и в начальный момент t=0 форма струны и скорость точки струны с абсциссой х определяются соответственно заданными функциями
Решение.
Уравнение колебания струны имеет вид:
.
Его решение будем искать в виде при граничных условиях:
Тогда X(0) = X(l) = 0.
Подставим решение в исходное уравнение:
.
Т.к. левая часть последнего уравнения зависит только от t, а правая только от х, то заключаем, что
.
Решаем дифференциальное уравнение . Составим для него характеристическое уравнение . Чтобы удовлетворить начальным условиям X(0) = X(l) = 0 необходимо, чтобы . Тогда общее решение этого дифференциального уравнения будет иметь вид:
.
Тогда
;
Таким образом, функция Х имеет вид:
Аналогично находится функция T(t):
Все решения исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющие граничным условиям, можно записать в виде:
Окончательно решение уравнения колебаний струны можно записать в виде:
где
.
Таким образом, окончательное решение уравнения колебаний струны можно записать в виде: