Контрольная работа №3
.docВАРИАНТ №3
Контрольная работа №3
Задание 1
Построить график функции у=f(x) преобразованием графика функции у=sinx
Строим график функции у=sinx
Задание 2
Дана функция r=f(x) на отрезке 0≤φ≤2π. Требуется: 1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая φ значения через промежуток π/8, начиная от φ=0; 2) найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия.
Решение:
Составим таблицу
φ |
0 |
π/8 |
π/4 |
3/8 π |
π/2 |
5/8 π |
3/4 π |
7/8 π |
π |
r |
0,8 |
0,83 |
0,97 |
1,3 |
2 |
4,7 |
<0 |
<0 |
<0 |
φ |
9/8π |
5/4π |
11/8 π |
3/2π |
13/8 π |
7/4 π |
15/8 π |
2π |
r |
<0 |
<0 |
4,7 |
2 |
1,3 |
0,97 |
0,83 |
0,8 |
При 3 cosφ=2, r(φ)→, поэтому ; при точек линии нет так как не может быть r<0. Для вычерчивания линии проведем радиус-векторы, соответствующие углам φ, взятым с интервалом π/8. На каждом из этих радиус-векторов откладываем отрезки, равные значениям r при соответствующем значении φ из таблицы. Соединяя точки, являющиеся концами этих отрезков. получаем график данной линии.
2) Подставляя и в уравнение заданной линии, получим
Задание 3
Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
а) б)
в) г)
Решение:
а)
б)
в)
Задание 4
Заданы функция y=f(x) и два значения аргумента x1 и x2. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
Решение:
Функция в точке х1 непрерывна, так как в этой точке f(x)=6, точка х2 =3 есть точка разрыва, так как неопределенна
Значит х2 является точкой разрыва второго рода. Чтобы сделать схематический чертеж найдем
Изобразим схематично график функции
Задание 5
Задана функция y=f(x) различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
Решение:
Функция 2х2 непрерывна на отрезке , функция х непрерывна на , а х+1 непрерывна значит у непрерывна на интервалах . Остается исследовать точки х1=0 и х2=1. Находим правые и левые пределы функции в этих точках
(правый предел)
(левый предел)
Точка х1=0 не является точкой разрыва, так как
Исследуем точку х2=1
(правый предел)
(левый предел)
Точка х2=1 является точкой разрыва, так как , но существуют
Сделаем чертеж