Контрольная №4
.docБелорусский Государственный Университет Информатики и Радиоэлектроники
Специальность:
Программное Обеспечение Информационных Технологий (ПОИТ)
Контрольная работа по математике №4
Вариант 1
Номер зачетной книжки 801021-21
Выполнил:
Мелещеня Валерий Сергеевич
151 Найти производную данных функций:
а) б)
в) г)
д)
Решение:
a) y=-=-
==*-*=-=
=-.
б)
====
===.
в)
=*-=*-=*(-1)=*==-.
г)
Возьмём как логарифмическую производную.
=
=*
(=
*=*+*
*=-*+*
=*(-+1)*y
=*(1-)*.
д) x*sin y-y*sin x=0
Возьмём как производную сложной функции
=0
*sin y+*x-*sin x-*y=0
Sin y+cos y**x-*sin x-cos x*y=0
*(cos y*x-sin x)=y*cos x-sin y
=.
№ 161
Найти и
а)б)
Решение:
а) y=*
==-+*=*-*=
=(-)*=(-)*=*=*.
===*+*=*-*=*-*=*(-)=
=*(-)=*(-)=*=*
б)
=
=1+=1-=1-tg t
=1+=1-=1-ctg t
=====-tg t.
=
==-
Тогда =-=-=-=-.
№171 Применив формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лангранжа к функции вычислить с точностью до 0,001 значения и . Методом линейной интерполяции вычис-лить приближенного значение
а=0,11, b=0,14, x0=0,12.
Решение:
Формула Тейлора для функции y=ex имеет вид:
=1++++…++…
=1++++…
Т.к. =0,000220,001, то для достижения необходимой точности достаточно взять 3 первых члена разложения в ряд:
=1++=1+0,11+0,006=1,116
=1++++…
=0,000460,001
Поэтому: =1+0,14+0,010=1,150
Методом линейной интерполяции находим .
По формуле:
y+(x-), где =0,11-наименьшее известное значение аргумента
y()==1.116-соотв. Значение функции
h=-=0.14-011=0.03
=-=0.150-0116=0.034
X=0.12
Значение функции y= в т. X=0.12 при этом:
1,116+*(0,12-011)=1,116+0,011=1,127
Ответ: =1.116, =1.150, =1.127.
№181 Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [a,b].
Решение:
Находим (x):
(x)====
=0
--12x+13=0
+12x-13=0
D=144-4*1*(-13)=196=142
==-13; ==1
-13[-5;5]; 1[-5;5].
Находим f(1),f(-5),f(5):
f(1)===
f(-5)==
f(5)==
max f(x)= f(1)=
min f(x)= f(-5)= Ответ: max f(x)= f(1)= min f(x)= f(-5)=
№191 Сопротивление балки прямоугольного поперечного сечения на сжатие пропорционально площади этого сечения. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром d , чтобы ее сопротивление на сжатие было наибольшим?
Решение:
Если сопротивление на сжатие пропорционально площади сечения, то, чем больше площадь, тем больше сопротивление. Значит из бревна заданного диаметра нам нужно получить балку (прямоугольного сечения) с наибольшей площадью.
Пусть тогда длина сечения - у, ширина – х.
Тогда S=x*y
Из АВС: у= (по теореме Пифагора)
Тогда S(x)=x*
Математически, нужно найти максимум S(x) на интервале [0;+) (из смысла задачи).
(x)=+x*=+x**(-2x)=
=-
-=0
=0
=0
=
x=
Значит при x= S(x) достигнет максимума. Значит, оптимальная ширина: x= , длина: y===
Ответ: сечение должно быть x=y=.
№201 Исследовать методами дифференциального исчисления функции и построить ее график, используя результаты исследования.
-
D(y)=
-
Функция не является периодической
y(-x)===-y(x)
Значит функция является чётной
-
Точки пересечения с осями – О(0;0)
-
Т.к. у(х) всюду непрерывна, то вертикальных асимптот нет.
Проверим наличие наклонной асимптоты:
y=kx+b
k==*==0
b====0
y=0 – горизонтальная асимптота.
-
Найдём промежутки монотонности и точки экстремума.
===
=0
=0
-+1=0
=1
x=1
В т. x=-1 - минимум
В т. x=1 –максимум
y(-1)==
y(1)==
-
Находим промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба.
========
=
=0
=0 x=0,x=
В точках x=0, x= – перегиб
y(0)=0; y(3)==
y(-)==
№211 Исследовать методами дифференциального исчисления функции и построить ее график, используя результаты исследования.
-
D(y)=(-;0)(0;+)
-
Функция не периодическая
Т.к. y(-x)= y(x)-y(x), то функция не будет являться ни чётной, ни не чётной.
3) Точки пересечения с осями:
C Ox:y=0
=0=0нет решений – нет точек пересечения.
С Оу: - нет точек пересечения.
-
Исследуем поведение функции в окрестности точки х=0.