контр№5

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра программного обеспечения информационных технологий

Факультет НиДО

Специальность ПОИТ

Контрольная работа №5

по дисциплине «Высшая математика»

часть 2

Вариант № 3

Выполнил студент: **************

Группа ******

Зачетная книжка *****

Минск 2011

Задания 213

Дана функция Показать, что

Решение. Найдем частные производные ,,,

.

Подставим их в уравнение

Получим тождество. Следовательно, функция z удовлетворяет данному уравнению.

Задание 223

Дана функция и две точки А (-2; 2) и В (-2,02; 2,05). Требуется: 1) вычислить значение z₁функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение функции в точке В исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x, y) в точке С (x₀, y₀, z₀).

Решение. 1.

2. .

Итак, ; .

Найдем . , , ;

f(-2.02;2.05)=12+(-5)*(-0.02)+5*0.05=12.35

3. Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением F(x;y;z)=0, в точке C(x₀;y₀;z₀) записывается в виде: . Так как в условии задачи уравнение поверхности задано в явном виде, то сначала его необходимо преобразовать к виду F(x;y;z)=0:

Теперь найдем частные производные :

Вычислим значения частных производных первого порядка в точке C(-2;2;12):

Подставим полученные значения в уравнение касательной плоскости:

-5x+5y-z-8=0

Задание № 233

Исследовать на экстремум функции двух переменных

Решение. Найдем частные производные и составим систему уравнений для нахождения стационарных точек:

,

,

то система для отыскания стационарных точек имеет вид

.

Решив систему, получим одну стационарную точку P(0;0). Найдем производные 2-го порядка

и составим дискриминант для стационарной точки.

Получим P(0,0) Δ=4-1>0, A>0 в P(0;0) функция имеет минимум,

Задание 243

Дана функция , точка А (1; 3) и вектор а = -5i + 12j.

Найти:

1) grad z в точке А;

2) производную в точке А в направлении вектора а.

Решение. 1. . Найдем частные производные функции u в точке А.

;

;

Тогда .

2. Производную по направлению вектора в точке А находим по формуле

Частные производные в точке А нами уже найдены. Для того чтобы найти , найдем единичный вектор вектора .

, где .

Отсюда .

Получим

Задание №253

Найти условный экстремум функции при помощи функции Лагранжа.

при

Решение. Составляем функцию Лагранжа:

Имеем

Необходимые условия дают систему

Решив которую, найдем:

_{Находим}

При в этой точке условный минимум,

При в этой точке условный максимум,