КР 1, Вар 2
.docКонтрольная работа № 1.
Основы векторной алгебры и аналитической геометрии
Задачи 1–10
Даны четыре вектора , , и , заданные в прямоугольной декартовой системе координат. Требуется: 1) вычислить скалярное произведение ; 2) вычислить векторное произведение ; 3) показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Задача 2: ; ; ; .
Решение:
1) Вычислим скалярное произведение
2) Вычислим векторное произведение
3) Покажем, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Базис образуют линейно независимые векторы.
Таким образом, векторы линейно независимы и, соответственно, могут образовывать базис.
Найдем координаты вектора x в этом базисе.
Получим систему уравнений.
Для решения системы линейных уравнений воспользуемся методом Крамера.
По формулам Крамера находим решение системы:
Таким образом, вектор в базисе векторов имеет вид:
Задачи 11–20
Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) длину ребра ; 2) уравнение прямой ; 3) угол между рёбрами и ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между ребром и гранью ; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 7) площадь грани ; 8) объём пирамиды; 9) сделать чертёж.
Задача 12: ; ; ; .
Решение:
1) Вычислим длину ребра А1А2.
Длина ребра численно равна расстоянию между точками и , которое в прямоугольной декартовой системе координат вычисляется по формуле
,
где координаты точки , координаты точки .
2) Для составления уравнений прямой воспользуемся формулой: , где координаты точки , координаты точки . Тогда уравнение прямой будет иметь вид:
3) Найдем угол между ребрами А1А2 и А1А4
Таким образом,
4) Составим уравнение плоскости
- нормаль искомой плоскости
Таким образом, уравнение плоскости имеет вид:
-4x + 34 y +24z + с = 0
2x – 17y – 12z + с = 0
Для определения с подставим координаты точки А1 в уравнение.
2 · 3 – 17 · 3 – 12 · 9 + с = 0
– 153 + с = 0
с = 153
Таким образом, уравнение плоскости имеет вид:
2x – 17y – 12z + 153 = 0
5) угол между ребром и гранью
β – искомый угол между ребром и гранью
6) Искомое уравнение высоты получим из канонических уравнений прямой
,
где точка, лежащая на искомой прямой; координаты направляющего вектора , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки возьмем точку , из которой по условию задачи должна быть опущена высота на плоскость , а в качестве вектора возьмем нормальный вектор плоскости , т.е. . уравнение высоты, опущенной из вершины на грань
7) площадь грани А1А2А3
8) объем пирамиды
9) сделать чертёж
А1
А3
А2 z y x
А4
Задача 22. Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости .
Решение:
Уравнение прямой, которая проходит через точку перпендикулярно заданной плоскости будет:
.
Найдем точку пересечения прямой и плоскости.
Подставим полученные выражения в уравнение заданной плоскости.
Откуда – точка пересечения прямой и плоскости. является серединой отрезка MM’, поэтому
Т.е. .
Задача 32. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки , чем от оси ординат. Привести полученное уравнение к каноническому виду и указать тип линии, описываемой этим уравнением.
Решение:
Обозначим произвольную точку искомой линии как . Тогда по условию получаем, что , где точка Р – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на ось ординат.
Находим:
;
.
.
Значит,
.
Это каноническое уравнение гиперболы с полуосями и центром в точке (-1;0).
P